Resolver la ecuación para $0^\circ < x < 360^\circ$

Question

Resuelva la siguiente ecuación para $0^\circ < x < 360^\circ$

$$\cos(2x - 15^\circ) = -0.145$$

Averiguando el cos inverso, obtengo $81.7^\circ$ . Porque $-0.145$ es negativo, se encuentra en el segundo y tercer cuadrante. Es decir, podemos encontrar $x$ por $(180 + \theta)$ y $(180 - \theta)$ .

Así que esto es lo que he pensado:

$$2x-15^\circ = 81.7^\circ$$

Desde aquí según yo, $$x=(81.7^\circ + 15^\circ)/2$$ da $$x=48.4$$ que no es la respuesta en mi opinión.

Luego viene $$2x-15^\circ=(180+81.7^\circ),(180-81.7^\circ)$$

Desde aquí encuentro $$x=138.35^\circ, 56.7^\circ$$ estas respuestas son correctas.

Ahora, la primera respuesta $48.4$ está equivocado, y hay una respuesta más en mi libro, es decir, hay $4$ valores en la respuesta, donde obtuve $3$ respuestas y $1$ se equivoca.

¿Podría alguien ayudarme a encontrar las otras dos respuestas?

Answer 1

\begin {align} \cos ( 2x - 15^ \circ ) &= -0.145 \\ 2x - 15^ \circ &= \cos ^{-1}(-0.145) + 360^ \circ k \quad\quad \ k \in \ldots -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \\ x &= \frac {1}{2} \left ( 15^ \circ + \cos ^{-1}(-0.145) + 360^ \circ k \right ) \quad\quad \ k \in \ldots -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \\ x &= \frac {1}{2} \left ( 15^ \circ \pm 98.3372791889057^ \circ + 360^ \circ k \right ) \quad\quad \ k \in \ldots -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \\ x &= 56.6686395944528^ \circ , 138.331360405547^ \circ , 236.668639594453^ \circ , 318.331360405547^ \circ \end {align}

Answer 2

Para este post asumo que estás usando grados y no otra cosa como radianes .

Puedes intentar usar la función coseno inversa que se llama $\arccos$ o $\cos^{-1}$ dependiendo de a quién le preguntes. A continuación voy a utilizar $\arccos$ pero si normalmente ves $\cos^{-1}$ entonces solo hay que saber que son lo mismo.

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Aquí tienes un ejemplo de uso:

$$\cos(x)=0.5$$ Tomo la función $\arccos$ en ambos lados $$\arccos(\cos(x))=\arccos(0.5)$$ Puede calcular $\arccos(x)$ en tu calculadora, asegúrate de que está en modo grados. $$x=60^{\circ}$$

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Esto funciona porque $\cos(x)$ y $\arccos(x)$ se anulan mutuamente al igual que $\sqrt{x}$ y $x^2$ se anulan entre sí.

Después de utilizar la función, tienes una ecuación mucho más sencilla que probablemente puedas resolver tú mismo.