Evaluación de $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{\ln(1-x)}{2x^2-2x+1}dx$

Question

Evaluación de $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{\ln(1-x)}{2x^2-2x+1}dx$

$\bf{My\; Try::}$ Sea $\displaystyle I = \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{\ln(1-x)}{2x^2-2x+1}dx\;,$ Ponga $1-x=t\;,$ Entonces $dx=-dt$ y cambiando los límites, obtenemos

$$I = \int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{\ln (t)}{2t^2-2t+1}dt$$

Ahora usando la sustitución trigonométrica, es muy complejo,

Ahora cómo puedo resolverlo después de eso, Ayúdame

Gracias.

Answer 1

Sustituir $t=\frac 1{2y}$

$$I=\int_{\frac 12}^1 \frac{\ln t}{2t^2 - 2t+1} dt =\int_{1}^{\frac 12} \frac{ -\ln (2y)}{\frac{1}{2y^2} -\frac 1y +1} \frac{-1}{2y^2} dy$$

$$= \int_{\frac 12}^1 \frac{-\ln2 -\ln y}{2y^2 -2y+1}dy$$

Así que $$I= \int_{\frac 12}^1 \frac{-\ln2}{2y^2 -2y+1}dy-I$$

Answer 2

En $2x^2-2x+1=\dfrac{(2x-1)^2+1}2,$ deje $2x-1=\tan y$

$$\int_0^{1/2}\dfrac{\ln(1-x)}{2x^2-2x+1}dx=\int_{-\pi/4}^0\left\{\ln(1-\tan y)-\ln2\right\}dy$$

$$=\int_{-\pi/4}^0\ln(1-\tan y)\ dy-\ln2\int_{-\pi/4}^0\ dy$$

Ahora con $\displaystyle\int_a^bf(x)\ dx=\int_a^bf(a+b-x)\ dx$ $$I=\int_{-\pi/4}^0\ln(1-\tan y)dy=\int_{-\pi/4}^0\left\{\ln2-\ln(1-\tan y)\right\}dy=\ln2\int_{-\pi/4}^0\ dy-I$$

¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 3

Demasiado largo para un comentario:

Pues bien, partiendo de su planteamiento, podemos considerar esta integral:

$$I(t)=\int_{1/2}^1 \frac{x^{t-1}}{2t^2-2x+1}$$

Ahora, podemos notar una identidad que involucra su integral que es realmente (debido a la Transformada de Mellin)

$$2I'(3)-2I'(2)+I'(0)=\frac{1}{2}$$

Este enfoque puede ayudar mucho en el cálculo, ya que sólo hay que calcular $I(t)$