En Fije la teoría, si no asumimos el axioma de elección, no podemos demostrar la ley de la tricotomía entre cardenales. Es decir, no podemos demostrar que para cualquier dos conjuntos, existe una inyección de una a la otra. Pero esto plantea la pregunta: ¿Qué es un ejemplo de un par de juegos entre los que no existe una inyección?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
DiGi
Puntos
1925
Si pudiéramos dar un ejemplo claro de los conjuntos para lo cual se puede demostrar la no existencia de tales inyecciones, el axioma de elección sería falso. Sin embargo, hay modelos de $\mathsf{ZF}$ sin el axioma de elección en el que hay Dedekind finito de conjuntos que no son finitos. Si $X$ es un conjunto, no hay inyección de $X$ $\Bbb N$o de$\Bbb N$$X$.
Específicamente, $X$ tiene la propiedad de que no hay inyección de $X$ correctamente en $X$. Esto es fácilmente demostrado ser equivalente a la propiedad de que no hay inyección de$\Bbb N$$X$. Si hubo una inyección de $f:X\to\Bbb N$, el hecho de que $X$ no es finito significa que $f[X]$ sería un subconjunto infinito de $\Bbb N$, y sería una simple cuestión de forma recursiva para la construcción de un bijection de$\Bbb N$$X$. Desde $X$ es Dedekind finito, no bijection existe.
ManuelSchneid3r
Puntos
116
Brian respuesta se refiere a la "fuerte" de la versión de tu pregunta: pidiendo una explícita contraejemplo. Si, por otro lado, todo lo que quieres es un ejemplo de un par de sets en los que se podría formar un contraejemplo a la Tricotomía, resulta que podemos hacer esto! La más sencilla es probablemente la siguiente: es indecidible en ZF si hay una inyección en cualquier dirección entre el $\mathbb{R}$ $\omega_1$ (el conjunto de contables ordinales).
Esto es comprobable en ZF que $\mathbb{R}$ surjects en $\omega_1$ (cada contables ordinal puede ser codificado por un real de una manera natural), pero este surjection no (ZF), un derecho inversa (no es fácil elegir un canónica de código para un determinado ordinal).
Tal vez más interesante respuesta puede ser dada por considerar más grande ordinales: en ZF, no podemos demostrar la existencia de un surjection o inyección en cualquier dirección entre el$\omega_2$$\mathbb{R}$.
EDIT: Técnicamente, la última frase es verdadera en ZFC así. Lo que debo decir realmente es que, "es consistente con la ZF de que no hay inyecciones o surjections entre el$\omega_2$$\mathbb{R}$."
DanV
Puntos
281
No hay ningún ejemplo en cualquier buena y razonable sentido de la palabra.
Dados cualesquiera dos conjuntos de $A$$B$, no es una extensión del universo, a un universo mayor de $\sf ZF$, en el que tanto $A$ $B$ son contables, y por lo tanto pueden ser comparados.
Es posible que desee hablar acerca de "definiciones", en lugar de hormigón conjuntos. Pero incluso eso puede ser difícil. Cualquier definición razonable para un conjunto que implica la delimitación de la clasificación de ese conjunto (así que no pueden decir algo así como "el menos $V_\alpha$ que no puede ser bien ordenado" en su definición), va a fracasar. El axioma de elección constantemente mantiene hasta cualquier nivel que usted desea, y no sin embargo la manera que usted desea a fallar después.
La negación del axioma de elección nos enseña nada acerca de que el axioma de elección falla, o cómo se produce un error.
Si usted quiere un "hormigón" ejemplo de dos conjuntos, entonces usted puede decir lo siguiente, sabemos que el axioma de elección falla si y sólo si existe algún ordinal $\alpha$ tal que $\mathcal P(\alpha)$ no puede ser bien ordenado. Tomar ese poder establecer de $\alpha$, y deje $\kappa$ ser el menos ordinal que no puede ser inyectado en $\mathcal P(\alpha)$. A continuación, $\mathcal P(\alpha)$ $\kappa$ no puede ser comparado.
Pero es este ejemplo realmente útil? Aprendiste algo significativo? No. No le he dicho a usted lo que es $\alpha$ o de lo $\kappa$. Y yo no puedo decirle eso. Porque todo lo que me has dicho es que el axioma de elección se produce un error. Usted no me ha dicho cómo se produce un error. ¿Contables elección se mantiene? Tal vez Dependiente de la Elección se mantiene hasta el menos medibles cardenal sostiene? No lo sabemos. No lo sabemos. A menos que asumir más acerca de este error.
