mostrar que todas las raíces de la ecuación de $2x^3-ax^2+bx-c=0$ son reales

Question

deje $k_{1}>k_{2}>k_{3}>k_{4}>k_{5}>k_{6}$ $a=k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}+k_{5}+k_{6}$ y

$b = k_{1}k_{3}+k_{3}k_{5}+k_{5}k_{1}+k_{2}k_{4}+k_{2}k_{6}+k_{4}k_{6}$ $c=k_{1}k_{3}k_{5}+k_{2}k_{4}k_{6}$

mostrar que todas las raíces de la ecuación de $2x^3-ax^2+bx-c=0$ son reales

quiero ser capaz de ir de cabeza, alguien podría ayudarme con esto,gracias

Answer 1

Podemos escribir $$2x^3-ax^2+bx-c=(x-k_1)(x-k_3)(x-k_5)+(x-k_2)(x-k_4)(x-k_6)$$ Deje que este ser $f(x)$.

Entonces, tenemos $$f(k_1)\gt 0,\quad f(k_2)\lt 0$$ $$f(k_3)\lt 0,\quad f(k_4)\gt 0$$ $$f(k_5)\gt 0,\quad f(k_6)\lt 0$$

Desde $f(x)$ es continua, por el teorema del valor intermedio, hay tres números reales $\alpha,\beta,\gamma$ tal que $$f(\alpha)=f(\beta)=f(\gamma)=0,\quad k_2\lt\alpha\lt k_1,\quad k_4\lt\beta\lt k_3,\quad k_6\lt\gamma\lt k_5$$