Si $c\leq{a}\leq{d}$$c\leq{b}\leq{d}$, ¿por qué es $\mid {a-b} \mid \leq d-c$?

Question

Sólo este pequeño problema de la desigualdad. Si $c\leq{a}\leq{d}$$c\leq{b}\leq{d}$, ¿por qué es $\mid {a-b} \mid \leq d-c$?

De (utilizados en p. 125 de Rudin los Principios de Análisis Matemático para demostrar una propiedad de la integración.)

Answer 1

WLOG asumen $a \leq b$. Considerar los intervalos $[a,b]$$[c,d]$.

Tenemos $a \in [c,d]$$b \in [c,d]$, lo $[a,b] \subset [c,d]$.

Por lo tanto el diámetro del primer intervalo es menor que el diámetro de la segunda.

Answer 2

Tienes varias respuestas dando analítica argumentos, pero (como carmichael561 notas en los comentarios) es importante recordar que la conclusión es geométricamente obvio:

Answer 3

Sin pérdida de generalidad, supongamos $b \le a$,$c \le b$, lo $-b \le -c$$a \le d$, por lo que \begin{align*} |a-b| = a-b \le d-b \le d-c \end{align*}

Answer 4

Tenemos $$a-b\le d-b\le d-c $$ y $$b-a\le d-a\le d-c $$ por lo tanto $$|a-b|=\max\{a-b,b-a\}\le d-c$$

Answer 5

Tenemos $|a-b|\le d-c$ fib $c-d\le a-b\le d-c$ fib $c+b\le a+d$$a+c\le d+b$. Ahora, sólo tenga en cuenta que las dos últimas desigualdades sigue de$c\le a$$b\le d$, e $a\le d$$c\le b$, respectivamente.