Problemas con la prueba de que $p|2^m-2^n$ si $p-1|m-n$

Question

Esta fue una tarea que ya he hecho unsuccesfully. Sin embargo, no se dieron respuestas y todavía estoy curioso. La pregunta es la siguiente:

"Si $p$ es una extraña primer número y $m > n$ son dos números naturales tales que $m-n$ es divisible por $p-1$, muestran que $2^m-2^n$ es divisible por $p$."

Una sugerencia fue dado de que Fermat poco teorema ($a^p \equiv a \pmod{p}$) se han utilizado. Parece muy fácil la prueba, pero yo no podía construir correctamente. Yo estaba un poco distraído por el poder de los dos, pero mi conjetura es que usted aplicar el teorema de la doble tal que $a=2$$p\in\{m,n\}$, pero, por supuesto, $m$ $n$ no tiene que ser la mejor.

Podría alguien por favor me empujes en la dirección correcta?

Saludos cordiales.

Answer 1

Sugerencia: tenga en cuenta que $2^m-2^n=2^{n}(2^{m-n}-1)$. Y ahora poco Fermat se terminan las cosas.

Answer 2

$m-n$ divisible por $p-1$ significa que $m-n = (p-1)k$ algunos $k$. Pero entonces,

$2^{(p-1)k} \pmod p= (2^{(p-1)})^k \pmod p= 1^k \pmod p = 1 \pmod p$

pero

$2^{(p-1)k} \pmod p= 2^{m-n} \pmod p= 2^m2^{-n}\pmod p$

y,

$2^m2^{-n} = 1 \pmod p \Rightarrow 2^m = 2^n \pmod p \Rightarrow 2^m - 2^n = 0\pmod p$

De ahí la tesis

Tenga en cuenta que todo funciona porque 2 es coprime con p

Answer 3

Sugerencia $\rm\,\ \ \ m\,\equiv\, n\:\ (mod\ p\!-\!1)\ \Rightarrow\ a^m\equiv a^n\:\ (mod\ p)\,\ \ when\,\ \ p\nmid a$

Prueba de $\rm\,\ m\, =\, n\, +\, k\ (p - 1)\:\Rightarrow\:a^m\equiv\, a^{n+k(p-1)}\!\equiv\, a^n (a^{p-1})^k\!\equiv\, a^n\, 1^k\equiv\, a^n\ $ a poco de Fermat