¿Por qué el cuerpo orbital no va cada vez más rápido?

Question

Si consideramos el cambio de velocidad durante un intervalo infinitesimal de una órbita:

donde el cuerpo B está orbitando el cuerpo A, podemos ver que la magnitud del vector resultante (la flecha verde) es mayor que la magnitud de la velocidad tangencial original. ¿Por qué esta magnitud no sigue aumentando indefinidamente?

Según entiendo las órbitas elípticas, se aceleran y desaceleran, pero según el diagrama, esperaría que siguieran acelerando monotónicamente.

(Las respuestas a la pregunta duplicada no responden a mi pregunta).

Answer 1

Hay que considerar el límite del tiempo infinitesimal, en el que la componente (vertical en el papel) de la velocidad es infinitamente corta, y por tanto también el ángulo cambia por una cantidad infinitesimal. En este límite, la corrección de la longitud es cuadrática en el paso de tiempo y desaparece exactamente en el límite físico del tiempo continuo. Pitágoras:

$$v_2=\sqrt{v^2+(adt)^2}\approx v + \frac{a^2}{2v}dt^2 +\cdots$$

Answer 2

Porque la dirección de la velocidad cambia. La velocidad comenzará a apuntar cada vez menos "hacia" el punto A y cuando la distancia entre A y B sea la más pequeña, la velocidad formará un ángulo recto con el radio, lo que significa que el vector de aceleración también forma un ángulo recto con la velocidad. En este punto la componente radial de la velocidad es cero y la velocidad total es la más alta. Después de este punto, el vector de aceleración apuntará ligeramente en dirección contraria al vector de velocidad y su longitud sólo disminuirá hasta alcanzar de nuevo el punto más alto.

He hecho esta imagen para ayudarte a entender con la velocidad (rojo) y el vector de velocidad radial (azul) dibujados. Ten en cuenta que cuando la velocidad radial disminuye pero sigue apuntando hacia A, la velocidad total sigue aumentando.

Answer 3

Esta pregunta señala la importancia de simplicidad en física.

En una simulación orbital, supongamos que simplemente se avanza de estado mediante $$\begin{align} \boldsymbol x(t+\!\Delta t) &= \boldsymbol x(t) + \boldsymbol v(t)\, \Delta t \tag 1 \\ \boldsymbol v(t+\Delta t) &= \boldsymbol v(t) + \boldsymbol a(t)\, \Delta t \end{align}$$ donde $\Delta t$ es una cantidad finita (no infinitesimal) y $\boldsymbol a(t)$ se calcula mediante la ley de gravitación de Newton. Esto hace que el cuerpo en órbita entre en espiral y gane velocidad. Esto es lo que molesta a @TylerDurden.

Esta espiral hacia el exterior es más clara cuando se empieza con un objeto en una órbita circular. El paso inicial es a lo largo de la tangente, por lo que se aleja de la órbita circular. La velocidad también aumenta; el cambio de velocidad es ortogonal a la velocidad inicial. Está claro que algo falla.

Lo que falla es la discretización realizada anteriormente, como sugiere la teoría de integración numérica simple. Cualquier ecuación diferencial de segundo orden puede convertirse en una ecuación diferencial de primer orden haciendo que la primera derivada (la velocidad, en este caso) forme parte del estado y aplicando después las técnicas de integración numérica para resolver EDO de primer orden a la ecuación diferencial resultante. La solución numérica más sencilla para resolver un problema de valor inicial de primer orden es avanzar el estado mediante $\boldsymbol s(t+\Delta t) = \boldsymbol s(t) + \Delta t \, d \boldsymbol s(t)/dt$ . Este es el método de Euler, y da como resultado las ecuaciones (1) anteriores cuando se aplica a un cuerpo en órbita.

El problema es que esta discretización no es simpléctica (es decir, viola las leyes de conservación). Otra forma de verlo es que este enfoque ignora la geometría. (Las leyes de conservación son la "geometría".) Hay otras técnicas no simplécticas, como la integración Runge Kutta canónica, que hacen que un cuerpo en órbita entre en espiral.

El problema es que convertir una ecuación diferencial de segundo orden en una ecuación diferencial de primer orden y luego utilizar técnicas de valor inicial de primer orden para resolver numéricamente la EDO tiene un coste, y ese coste es tirar la geometría por la ventana. Lo que se necesita son técnicas que no tiren la geometría por la ventana. Un enfoque muy simple es aplicar las ecuaciones (1) en un orden ligeramente diferente: $$\begin{align} \boldsymbol v(t+\!\Delta t) &= \boldsymbol v(t) + \boldsymbol a(t)\, \Delta t \tag 2 \\ \boldsymbol x(t+\!\Delta t) &= \boldsymbol x(t) + \boldsymbol v(t+\!\Delta t)\, \Delta t \end{align}$$ Este es el método de Euler simpléctico. Observe cómo los cálculos de velocidad y posición están ahora trenzados. Este es uno de los significados de "simpléctico".

Si se resuelven las matemáticas con respecto a la aplicación de las ecuaciones (2) a la gravitación, se encontrará que esta formulación alternativa del método de Euler obedece explícitamente a la segunda ley de Kepler, según la cual una línea trazada desde el Sol a un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. ¡Esto es geometría! La segunda ley de Kepler es, por supuesto, un caso especial de la conservación del momento angular. Las leyes de conservación y la geometría están estrechamente relacionadas.

Answer 4

Todo cuerpo que se desplaza con una velocidad creciente aumenta su energía cinética $KE$ . Ya que en su sistema:

$$KE+PE=\text{constant}$$

donde $PE$ es la energía potencial. Por lo tanto, el aumento de $KE$ resulta en la disminución de la distancia entre los objetos (así como el aumento $PE$ ).

Nota: $KE$ es siempre positivo. $PE$ puede ser positivo o negativo. $PE$ es negativo para los sistemas vinculados.

Answer 5

Su dibujo de la suma vectorial es incorrecto. Considerando el caso simple de una órbita perfectamente circular, hay un vector de velocidad tangencial y un vector de aceleración perpendicular (hacia adentro). Estrictamente hablando, no puedes sumarlos porque son cantidades diferentes (aceleración vs velocidad).

En algún punto de la órbita, el objeto tiene una velocidad inicial V en alguna dirección que llamaremos X, y una aceleración hacia adentro en la dirección perpendicular que llamaremos Y. Un cuarto de órbita más tarde, el vector de aceleración ha acelerado el objeto de cero a V en la dirección Y, pero también ha girado (todavía apuntando hacia adentro), desacelerando el objeto de V a cero en la dirección X. En este punto, ya no hay componente Y en la aceleración.

Si se descomponen los vectores de aceleración y velocidad en componentes cartesianas, se encuentra que cada uno describe una sinusoide, con un pico en algún punto, cruzando el cero un cuarto de ciclo después, alcanzando un pico inverso un cuarto de ciclo después, cruzando el cero de nuevo después de otro cuarto de ciclo, y volviendo al pico inicial en un ciclo completo. Si se suma el área bajo las curvas, se obtiene cero: el negativo es exactamente igual al positivo, por lo que no hay un cambio neto, ni un aumento neto de la velocidad.