Dejemos que $X$ , $Y$ sean conjuntos y $f:X\rightarrow Y$ sea un mapa. Denotando la imagen de $D\subset X$ en $f$ por $f(D)$ a veces puede ser confuso. En cuanto a las preimágenes, he visto una notación inequívoca como $f^*\mathcal{O}$ , donde $\mathcal{O} \subset \mathcal{P}(Y)$ . (Aunque esto también es un ejemplo de la notación "confusa" de una imagen). Para las imágenes, es la notación análoga $f_*D$ para denotar la imagen de $D\subset X$ en $f$ ¿se utiliza en la literatura?
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Boris Y
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Hay varias notaciones para la imagen, Lawvere y Rosebrugh enumeran cinco notaciones diferentes en su libro "Sets for Mathematics", pg 137:
$$ \mathcal{P}f,\ f_!,\ f[\ ],\ \exists_f,\ \textrm{im}_f $$
La notación del asterisco puede explicarse mediante la teoría de los topos. La función $f:X \to Y$ da lugar a un morfismo geométrico $f: \mathbf{Set}/X \to \mathbf{Set}/Y$ . Todo morfismo geométrico $f:\mathcal{E} \to \mathcal{F}$ contiene un adjunto $(f^* \dashv f_*)$ , denominadas imagen inversa e imagen directa respectivamente. Algunos morfismos geométricos tienen adjuntos adicionales, la notación va:
$$ f_! \dashv f^* \dashv f_* \dashv f^! $$
Los funtores con un signo de exclamación (¡!), normalmente llamados funtores de chillido, no están presentes en todos los morfismos geométricos. Los funtores de subíndice siguen al morfismo geométrico, por lo que $f_!, f_*: \mathcal{E} \to \mathcal{F}$ mientras que los funtores de superíndice van en la dirección opuesta, $f^*, f^!: \mathcal{F} \to \mathcal{E}$ .
Si volvemos a una función de conjunto $f:X \to Y$ el morfismo geométrico correspondiente $f$ tiene una imagen inversa $f^*$ que toma el retroceso a lo largo de $f$ y la imagen directa $f_* = \Pi_f$ que es un poco más difícil de describir. Pero hay un adjunto extra, $f_! = \Sigma_f$ que se compone con $f$ . Este adjunto, cuando se restringe a los subobjetos del objeto terminal, corresponde a la imagen, no $\Pi_f$ .
Siguiendo esta convención, la notación $f_*$ no debe usarse para la imagen, ya que la imagen es conjunta a la izquierda con la imagen inversa, como dice Zhen Lin más arriba. Sin embargo, existe un functor $f_*$ que en los subconjuntos tiene la definición
$$ f_*(U) = \{ y \in Y\ |\ \forall x \in X, f(x) = y \to x \in U \} $$
Esto no se utiliza tanto como la imagen. Yo seguiría utilizando $f_!$ para la imagen. Sea cual sea la notación que utilice, explique lo que quiere decir, ya que no todo el mundo reconocerá esta notación.
DanV
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En mi región, una notación común para $\{f(x)\mid x\in D\}$ es $f[D]$ y en algunos lugares también se puede encontrar gente que utiliza la doble prima que confunden los analistas, es decir $f''D$ .
Para la preimagen, el principio es el mismo: $\{x\mid f(x)\in O\}=f^{-1}[O]$ .
Cuando enseñamos esto en el curso de introducción decimos que si $D=\{x\}$ entonces escribimos $f[x]$ en lugar de $f[\{x\}]$ y de manera similar $f^{-1}[y]$ en lugar de $f^{-1}[\{y\}]$ . Los paréntesis se mantienen para distinguir los conjuntos de los elementos.
