Prueba del método de bisección del círculo

Question

Cuando tenía 7 u 8 años, jugaba a dibujar círculos. Por alguna razón, se me ocurrió tomar un ángulo de 90° y colocar el vértice en el círculo y marcar el lugar donde los dos lados se cruzaban con el círculo.

Me pareció que al conectar los dos puntos de intersección se creaba una línea que pasaba por el centro, independientemente de cómo se girara el cuadrado.

Lo he probado muchas veces y, dentro del error de mis herramientas, mi conjetura parecía ser correcta. Efectivamente, había descubierto un método para encontrar el centro de un círculo. Basta con crear al menos dos de estas líneas bisectrices y ¡voilá!

El problema que tengo ahora, muchos años después, es que no me basta con comprobar un montón de veces; quiero una prueba.

Puedo explicar intuitivamente dos extremos y el medio sin ninguna matemática elegante, pero todavía no he llegado a una prueba general.

Cuando uno de los puntos de intersección se acerca al vértice del ángulo, el tramo con ese punto se acerca a una tangente del círculo. Es intuitivo para mí que una línea, que es perpendicular a una línea tangente y pasa por el punto en el que la línea tangente toca el círculo, bisecaría el círculo.

Además, cuando el ángulo se gira de forma que los dos segmentos de recta formados entre el vértice y los puntos de intersección son iguales, estos segmentos de recta forman la mitad de un cuadrado inscrito. Una línea que pasa por dos vértices opuestos de ese cuadrado también bisecaría el círculo.

¿Puedes demostrar si al situar el vértice de un ángulo de 90° en una circunferencia se crea una bisectriz uniendo los puntos de intersección?

Answer 1

Esto es (esencialmente) la inversa del teorema de Tales:

La inversa del teorema de Tales es entonces: el centro de la circunferencia de un triángulo rectángulo se encuentra en su hipotenusa. (Equivalentemente, la hipotenusa de un triángulo rectángulo es un diámetro de su circunferencia).

La cita anterior procede del wikipage para el Teorema de Tales, y la sección vinculada contiene tres pruebas diferentes de este hecho.

Answer 2

Supongamos que un triángulo como el de la imagen tiene la mediana $AM$ igual al medio lado $CB$ es decir $CM=MB$ .

Tienes un triángulo isósceles $MCA$ con dos ángulos iguales y otro triángulo isósceles diferente $MBA$ .

Ahora sumemos los ángulos $x+x+y+y=2x+2y=2(x+y)$ debe dar $180°$ lo que significa que

$2(x+y)=180°$ es decir $x+y=90°$ .

Así hemos demostrado que si el punto medio del lado más largo de un triángulo tiene la misma distancia desde los vértices el triángulo es rectángulo y podemos dibujar una circunferencia con centro $M$ y el radio $MA$ El círculo circunscrito.

Supongamos ahora que el triángulo es rectángulo y dibujemos desde los vértices del lado más largo las paralelas a los otros lados más cortos. Se cruzan en $D$ y es fácil ver que $ABCD$ es un rectángulo cuyas diagonales son iguales y se cortan en su punto medio. Por tanto, se deduce que $AM=BM=CM$ .

Hemos demostrado que en un triángulo rectángulo el punto medio del lado más largo tiene la misma distancia de los tres vértices y es el centro de la circunferencia circunscrita, por eso cuando eras niño los ángulos rectos tenían lados que se cruzan con la circunferencia en puntos que son el diámetro de la misma.

Espero que esto ayude