Bolas etiquetadas y cajas etiquetadas al menos X en una caja

Question

Tengo un problema para resolver todos los ejercicios que implican el "al menos" $1$ la bola necesita estar en la caja #2" tipo de problemas.

Por ejemplo: hay $8$ células numeradas y dejamos caer $10$ bolas numeradas en ellas (cada celda puede contener un número ilimitado de bolas). ¿Cuál es la probabilidad de que el número de células $1$ contendrá $0$ bolas y número de células $2$ contendrá al menos $1$ pelota?

Lo que hice es calcular la probabilidad del número de células $1$ para estar vacíos $(0.263)$ y la probabilidad del número de células $2$ NO contiene $0$ bolas $(1 - 0.263)$ y luego las multipliqué a ambas obteniendo un resultado de $0.19$ lo cual está mal.

Busqué en Google y encontré esto https://www.uni-due.de/~hn213me/mt/w13/isedm/KOBallsBoxes.pdf caso 1.1.2 pero el problema es que no aprendimos sobre los números de Stirling y nunca vamos a aprender sobre ellos hasta donde yo sé (parece demasiado avanzado para este curso).

¿Cómo resuelvo este tipo de ejercicios? Gracias de antemano.

Answer 1

Su cálculo asume incorrectamente que los dos eventos son independientes.

Una forma de obtener el resultado correcto es calcular la probabilidad de que la célula $1$ esté vacía y restar la probabilidad de que la celda $1$ y la célula $2$ están vacías; lo que queda es la probabilidad de que la célula $1$ está vacía y la celda $2$ no lo es:

$$ \left(\frac78\right)^{10}-\left(\frac68\right)^{10}\;. $$

Answer 2

Denota con $E_i$ el caso de que la caja $i$ está vacío para $i=1,2,\dots,10$ . Entonces se quiere calcular la probabilidad $P(E_2^c\cap E_1)$ que se puede encontrar como \begin{align}P(E_2^c\cap E_1)&=P(E_2^c\mid E_1)P(E_1)\\[0.2cm]&=\left(1-P(E_2\mid E_1)\right)P(E_1)\\[0.2cm]&=\left(1-\frac{6^{10}}{7^{10}}\right)\left(\frac{7^{10}}{8^{10}}\right)=\frac{7^{10}-6^{10}}{8^{10}}\end{align}