¿Factorización única de ideales?

Question

¿Se da el caso de que aunque el dominio no sea UFD para sus elementos, el dominio es UFD para los ideales?

Quiero decir, ¿podemos factorizar unívocamente los ideales, lo que sea? ¿Es eso posible, y por qué?

Por ejemplo, en $\mathbb{Z}[\sqrt{-14}]$ podemos factorizar: $\langle 30\rangle = \langle 2 \rangle \langle 3 \rangle \langle 5 \rangle$ ?

Gracias.

Answer 1

Sí, $\mathbb{Z}[\sqrt{-14}]$ es el anillo de los números enteros $\mathcal{O}_K$ para el campo numérico cuadrático imaginario $\mathbb{Q}(\sqrt{-14})$ . Desde $\mathcal{O}_K$ es un anillo Dedekind, tenemos factorización única para los ideales, aunque el anillo en sí no es factorial. La factorización se refiere a los ideales primos en $\mathcal{O}_K$ . Obsérvese que no todos los ideales $(p)$ con un primo racional $p$ son necesariamente ideales primos en $\mathcal{O}_K$ . Sin embargo, con la ayuda del símbolo de Legendre, se puede decidir si $(2)$ , $(3)$ resp. $(5)$ son ideales primos en $\mathbb{Z}[\sqrt{-14}]$ .

Answer 2

Los dominios para los que existe una factorización única para los ideales se denominan dominios Dedekind. Los anillos de enteros de campos de números algebraicos son el ejemplo principal.

No todos los dominios son Dedekind. Una definición equivalente es integralmente cerrado, Noetherian dominio en el que cada ideal primo distinto de cero es maximal.

Answer 3

Sí, ese es el objetivo de los ideales, "restaurar" la factorización única en un dominio que nunca la tuvo.

Para asegurarnos de que estamos en la misma página, repasemos las definiciones de ideales principales e ideales en general. Digamos que $p$ es un número primo, y $a$ y $b$ son algunos números arbitrarios en el mismo dominio que $p$ . Si $p$ es efectivamente primo y $p \mid ab$ entonces también debe ser el caso que $p \mid a$ y/o $p \mid b$ .

Lo ideal $\langle p \rangle$ consiste en todos los números de la forma $px$ donde $x$ es cualquier número del dominio que sea. Igualmente, $\langle a \rangle$ consiste en todos los números de la forma $ax$ y $\langle b \rangle$ consiste en todos los números de la forma $bx$ . Si $\langle p \rangle$ es un ideal primo y $\langle ab \rangle \subset \langle p \rangle$ entonces $\langle a \rangle \subset \langle p \rangle$ y/o $\langle b \rangle \subset \langle p \rangle$ .

Por ejemplo, en $\mathbb Z$ encontramos que 2 es primo pero 4 no lo es. Verificar que $\langle 2 \times 14 \rangle \subset \langle 2 \rangle$ y de hecho $\langle 2 \rangle \subseteq \langle 2 \rangle$ y $\langle 14 \rangle \subset \langle 2 \rangle$ . Pero aunque $\langle 2 \times 14 \rangle \subset \langle 4 \rangle$ encontramos que $\langle 2 \rangle \not\subset \langle 4 \rangle$ y $\langle 14 \rangle \not\subset \langle 4 \rangle$ tampoco.

Un ideal principal se genera con un solo número. Pero un ideal también puede ser generado por dos números. Así, $\langle m, n \rangle$ consiste en todos los números de la forma $mx + ny$ donde $x$ y $y$ son cualquier par de números del dominio que sea.

Los ideales generados por dos números son realmente útiles en dominios como $\mathbb Z[\sqrt{-14}]$ . Tome un número como $2 + \sqrt{-14}$ . Este número no está en $\langle 2 \rangle$ porque no hay ningún número $x \in \mathbb Z[\sqrt{-14}]$ tal que $2x = 2 + \sqrt{-14}$ . Este número tampoco está en $\langle \sqrt{-14} \rangle$ porque no hay ningún número $x \in \mathbb Z[\sqrt{-14}]$ tal que $x \sqrt{-14} = 2 + \sqrt{-14}$ . Sin embargo, es en $\langle 2, \sqrt{-14} \rangle$ sólo hay que poner $x = y = 1$ .

Además, $\langle 2 \rangle \subset \langle 2, \sqrt{-14} \rangle$ y $\langle \sqrt{-14} \rangle \subset \langle 2, \sqrt{-14} \rangle$ también. Ni $\langle 2 \rangle$ ni $\langle \sqrt{-14} \rangle$ son ideales primos, pero $\langle 2, \sqrt{-14} \rangle$ es.

Y así, resulta que $\langle 30 \rangle = \langle 2 \rangle \langle 3 \rangle \langle 5 \rangle$ es una factorización correcta pero incompleta, al igual que $\langle 5 \rangle \langle 6 \rangle$ también está incompleta. La factorización completa de $\langle 30 \rangle$ en $\mathbb Z[\sqrt{-14}]$ es $\langle 2, \sqrt{-14} \rangle^2 \langle 3, 1 - \sqrt{-14} \rangle \langle 3, 1 + \sqrt{-14} \rangle \langle 5, 1 - \sqrt{-14} \rangle \langle 5, 1 + \sqrt{-14} \rangle$ .

Como ejercicio, compruebe que aunque $(4 - \sqrt{-14})(4 + \sqrt{-14}) = 30$ es una factorización distinta de 30 como número, ni $\langle 4 - \sqrt{-14} \rangle$ y $\langle 4 + \sqrt{-14} \rangle$ son ideales primos, y no supone ningún problema para la unicidad de la factorización del ideal $\langle 30 \rangle$ .