Encontrar dos números naturales cuya suma es $85$ y cuya lcm es $102$.

Question

Estoy atascado en esta pregunta,

Encontrar dos números naturales cuya suma es $85$ y el LCM es $102$.

Acabo de romper $102$ $17*2*3$ y vio que $85=17*2+17*3$. Así que los números se $34$$51$.

Pero necesito una manera matemática de resolver todo este tipo de problemas, como lo hizo este problema en la prueba y éxito de la moda.

Gracias

Answer 1

Aquí es un poco retorcido, pero diferente enfoque. Deje $a$ $b$ ser los números naturales.

Dado $a+b=85\Rightarrow b=85-a$

Desde $LCM(a,b)=102$

a continuación, $ab=102k\Rightarrow a(85-a) = 102k$ donde k es algún número natural.

La solución de la anterior ecuación cuadrática obtenemos $$a=\frac{85\ ^+_- \sqrt{85^2-408k}}{2}$$ Puesto que la expresión bajo la raíz cuadrada debe ser una extraña cuadrado perfecto, se puede encontrar fácilmente a $k$$17$.

Por lo tanto $a=51,34$.

Answer 2

Aquí es lo que me gustaría considervan incluso la solución más sencilla.

Ya que la suma es divisible por $17$ que es primo, ya sea (a) ambos números desconocidos son divisivle por $17$ o (b) tampoco lo es. El lcm es divisble por $17$ (a) debe aplicar. A continuación, el lcm es divisible por $3$ , otro primer factor, de modo que al menos una de las incógnitas, también debe ser divisible por $3$. Por lo tanto, un desconocido debe ser divisible por $3\times 17=51$ y menos de $85$, por lo que debe ser $51$ sí. Dejando $34$ para el otro.

Answer 3

SUGERENCIA:

Vamos los dos números se $a,b$

y $(a,b)=d>0$ $\dfrac aA=\dfrac aB=d\implies(A,B)=1$

$102=ABd$ $85=(A+B)d$

Como $85=5\cdot17,d$ debe ser uno de $1,5,17$

pero $d$ debe dividir $102=2\cdot3\cdot17$.

Ver también: Encontrar todos los pares de enteros positivos que se suman a la $667$ e sus $\frac{\text{lcm}}{\text{gcd}} =120$

Answer 4

Tal vez esto puede ayudar a:

Dicen que los dos números son $A$$B$. Nos da que: $A+B=85=5\times 17...(1)$$lcm(A,B)=102=2\times 3\times 17$. Como $gcd(A,B)$ divide tanto a a$A$$B$, se ha de dividir a la $A+B$ también así, de ahí que hace que $gcd(A,B)=17$.

Ahora el uso de la identidad : $A*B=gcd(A,B)\times lcm(A,B)$, tenemos: $AB=17\times 102...(2)$ Problemas $(1)$ $(2)$ nos da la necesaria respuesta. Espero que ayude.

Answer 5

Sugerencia:

Deje $a+b=85=17\cdot5$$[a,b]=102=17\cdot 2\cdot3$.

Denotar $\gcd(a;b)=d$. A continuación, $[a,b]=\frac{ab}{d}=a_1b_1d_1$

A continuación, $a=a_1d, b=b_1d$ donde $\gcd(a_1;b_1)=1$.

A continuación, $d(a_1+b_1)=5\cdot17$

1) Vamos a $d=1$, $a_1+b_1=85, a_1\cdot b_1 =102$

2) Deje $d=5$ $a_1+b_1=17, a_1\cdot b_1 =\frac{102}5$

3) Deje $d=17$ $a_1+b_1=5, a_1\cdot b_1 =\frac{102}{17}=6$