¿Valores p de la prueba binomial exacta?

Question

Obtengo el mismo valor p para una prueba binomial exacta de una cola y de dos colas para algunas combinaciones de x, n y p. ¿Alguien sabe por qué ocurre esto? ¿Qué fórmula utiliza R para calcular el valor p de las pruebas binomiales de dos colas?

>binom.test(x=2,n=9,p=.1, alternative="greater")

Exact binomial test

data:  2 and 9
number of successes = 2, number of trials = 9, p-value = 0.2252
alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.1
95 percent confidence interval:
0.04102317 1.00000000
sample estimates:
probability of success 
             0.2222222 

> binom.test(x=2,n=9,p=.1, alternative="two.sided")

    Exact binomial test

data:  2 and 9
number of successes = 2, number of trials = 9, p-value = 0.2252
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.1
95 percent confidence interval:
0.02814497 0.60009357
sample estimates:
probability of success 
             0.2222222

Answer 1

Esta prueba de hipótesis se basa en el llamado intervalo de Clopper-Pearson. La prueba unilateral ''mayor'' calcula la probabilidad de tener un valor de al menos 2 bajo una densidad binomial:

size<-9
x<-2
p<-0.1
# compute probability that outcome is >= 2, i.e. x:size
p.value<-sum(dbinom(x:size, prob=p, size=size))

p.value

Si se hace una prueba de dos caras, se mira la probabilidad de que el resultado sea igual a 2 ( dbinom(x=2,prob=p,size=size) ) y se calcula la probabilidad de todos los resultados con una probabilidad menor o igual a esa:

all.probs<-dbinom(0:size, prob=p, size=size)
# probability that the outcome is x=2
prob.x<-dbinom(x=x, prob=p, size=size)

# probability of all outcomes that have a probability lower than or equal to the probability of the outcome 2 (prob.x) 
p.value<-sum(all.probs[all.probs <= prob.x])
p.value

Si se dibuja la trama ( plot(0:size, all.probs) ) verá que no hay resultados con una probabilidad menor o igual a la del resultado 2 en la cola de la izquierda.

Si se hace lo mismo con size<-30 verá que hay tales resultados en la cola de la izquierda (y que para n=30 test.binom dará resultados diferentes para las pruebas de uno y dos lados).