Encontrar la suma de los primeros 99 términos de la secuencia definida por $T_{n}=\frac{1}{5^{2n-100}+1}$

Question

Encontrar la suma de los primeros a $99$ términos de una secuencia, donde $$T_{n}=\frac{1}{5^{2n-100}+1}.$$

Necesito algunos consejos sobre cómo abordar; soy incapaz de simplificar. Gracias.

Answer 1

Prestar atención cuidadosamente dada a me $T_{50-n}=5^{2n}T_{50+n}$ a partir de la cual algunas de las propiedades que surgen. Sin embargo, mucho mejor es $T_n+T_{100-n}=1$ $T_{50} = \frac12$ a partir de la cual la solución es inmediata. Tenemos $T_1+T_2+T_3+…….+T_{49}+ \frac12 +T_{51}+T_{52}+…..T_{98}+T_{99} $ de donde, reordenando términos, obtenemos $\sum_{n=1}^{n=49}(T_n+T_{100-n}) =49$ Por lo tanto la respuesta es $49+\frac12=\frac{99}{2}$