Ejemplo de una función que tiene derivadas fraccionarias de orden inferior a 1 pero no 1

Question

Recientemente he aprendido que algunos fractales pueden tener derivadas fraccionarias de orden inferior a 1, digamos de 1/2 aunque no sean diferenciables (no tengan derivada de orden 1).

Me pregunto si existe una función que tenga todas las derivadas fraccionarias hasta el orden 1, pero sin incluir el 1.

Answer 1

Definir la función Weirstrass por

$$W_{\lambda}^s(t)=\sum_{k=0}^{\infty} {\lambda}^{k \cdot (s-2)} \cdot \sin({\lambda}^k \cdot t)$$

Dónde $\lambda \gt 1$ , $s \lt 2$ et $t$ es real.

¿Cuál es la derivada de esta expresión? Pues bien, si $1 \lt s\lt 2$ no es diferenciable en ninguna parte.

Prueba

En realidad es bastante sencillo. Basta con diferenciar término por término.

$${{dW_{\lambda}^s(t)} \over dt}=\sum_{k=0}^{\infty} {\lambda}^{k \cdot (s-2)} \cdot {\lambda}^k \cdot \cos({\lambda}^k \cdot t)=\sum_{k=0}^{\infty} {\lambda}^{k \cdot (s-1)} \cdot \cos({\lambda}^k \cdot t)$$ Desde $s \lt 2$ sabemos que para $ 1 \lt s \lt 2$ el exponente oscilará $0$ a $1$ . Por lo tanto, la serie divergirá y por lo tanto la derivada no puede existir.

Cálculo fraccionario

En realidad no necesitas hacer esto, pero define la derivada fraccionaria de $\sin(a \cdot t)$ de orden $\mu$ ser $a^{\mu} \cdot \sin(a \cdot t+{{\mu \cdot \pi} \over 2})$

Tomando la derivada fraccionaria de la función de Weirstrass se obtiene...

$${{d^{\mu} W_{\lambda}^s(t)} \over d^{\mu} t}=\sum_{k=0}^{\infty} {\lambda}^{k \cdot (s-2)} \cdot {\lambda}^{k \cdot \mu} \cdot \sin({\lambda}^k \cdot t +{{\mu \cdot \pi} \over 2})=\sum_{k=0}^{\infty} {\lambda}^{k \cdot (s+\mu-2)} \cdot \sin({\lambda}^k \cdot t +{{\mu \cdot \pi} \over 2})$$

Veamos el término exponente $s+\mu-2$ con más detalle. Dado que el exponente debe ser menor que $0$ para converger significa $\mu \lt 2-s$ . Elegir $s=1$ significa que el orden de la derivada debe ser menor que 1.

A continuación se muestra el fractal generado para $\lambda=2$ , $s=1$

Aquí está el $1/2$ derivada generada para $\lambda=2$ , $s=1$ , $\mu=1/2$