Para qué números naturales $n$ es $\mathbf Z/n\mathbf Z$ $[x]/(x^3+x+1)$ ¿un campo?

Question

Hace poco vi esta pregunta en el examen de un primer curso de álgebra abstracta en mi universidad. No debería ser demasiado difícil, pero no consigo encontrar la solución. ¿Alguna idea sobre cómo resolverla?

Answer 1

A continuación se presenta un enfoque que utiliza algo de teoría de los números. Espero que esté bien.
Como ya sabes, este cociente es un campo si y sólo si el polinomio es irreducible. Como un polinomio cúbico es reducible si y sólo si tiene una raíz (por razones de grado), el cociente es un campo si y sólo si este polinomio no tiene raíces en $\mathbb Z/n\mathbb Z,$ es decir, si y sólo si $x^3+x+1\equiv0\pmod n$ no tiene soluciones en números enteros.
Además, al la fórmula cúbica especialmente la ecuación (19) en el enlace, si $\omega$ es una raíz, entonces $\omega^3=\frac{-1}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{4}{27}},$ así que $\omega=-\omega^3-1=\frac{-1}{2}\mp\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{4}{27}}.$ Esto demuestra que el polinomio tiene una raíz si y sólo si $y^2\equiv\frac{31}{27}\pmod n$ es solucionable en números enteros.
Consideremos primero el caso en el que $n$ es un primo $p\not=2, 3, 31.$
Ahora la congruencia $y^2\equiv31\cdot27^{-1}\pmod p$ es soluble si y sólo si el símbolo de Legendre $\left(\frac{31\cdot27^{-1}}{p}\right)=1.$ Así que el cociente es un campo si y sólo si la congruencia no es resoluble, si y sólo si $$\left(\frac{31\cdot3}{p}\right)=-1.$$
Por reciprocidad cuadrática la última condición es equivalente a $$(-1)^{(p-1)/2}\left(\frac{p}{31}\right)(-1)^{(p-1)/2}\left(\frac{p}{3}\right)=\left(\frac{p}{31}\right)\left(\frac{p}{3}\right)=-1$$
Ahora tenemos una condición necesaria y suficiente bajo la hipótesis de que $n$ es un primo $\not=2, 3 , 31.$ Si $n$ no es un primo, digamos $n=\prod_ip_i^{n_i},$ entonces $\mathbb Z/n\mathbb Z[x]/(x^3+x+1)\cong \bigoplus_i\mathbb Z/p_i^{n_i}\mathbb Z[x]/(x^3+x+1)$ no es un campo: por ejemplo, el elemento $(1,0,\cdots,0)$ no es invertible. Finalmente, como $$(1)^3+(1)+1=3,$$
$$(3)^3+(3)+1=31,$$
se deduce que ninguno de $3, 31$ satisface la condición, mientras que el polinomio es irreducible módulo $2:$ sólo hay dos elementos en $\mathbb Z/2\mathbb Z,$ ninguno de los cuales satisface $x^3+x+1=0.$ Gracias a Jyrki Lahtonen por señalarlo.
Espero que esto ayude, y, si se produce algún error, por favor, informadme, gracias de antemano.

Answer 2

Sugerencia: Un cociente por un ideal es un campo si y sólo si el ideal es maximal, por lo que querrás buscar cuando el polinomio se factorice.