Pasando el límite interior de la integral para funciones en $L^1+L^2$ norma

Question

Deje $f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$, y deje $f_k$ funciones en el conjunto de Schwartz clase tal que $\|f-f_k\|_1+\|f-f_k\|_2\rightarrow 0$$k\rightarrow\infty$. Definir $$g_k(t)=\int_\mathbb{R}f_k(x)e^{-itx}dx \text{ and } g(t)=\int_\mathbb{R}f(x)e^{-itx}dx$$ Show that $\lim_{k\rightarrow\infty}g_k(t)=g(t)$ for all $t$.

Quiero usar algo como dominado convergencia thm a pasar el límite dentro de la integral. Pero aquí no está claro, porque la convergencia en $L^1+L^2$ norma. No sabemos si $f_k(x)\rightarrow f(x)$ a punto de $x$. ¿Qué podemos hacer?

Answer 1

Para todos los fijos $t$, el funcional $\Phi_t(f) = \int_{\mathbb R} f(x)e^{-itx}\,dx$ es continua con respecto a la $L^1$ norma: $$|\Phi_t(f)-\Phi_t(h)|\le \int_{\mathbb R}|f(x)-h(x)|\,dx = \|f-h\|_{L^1}$$ Por lo tanto, la convergencia $f_k\to f$ $L^1$ norma implica $\Phi_t(f_k)\to \Phi_t(f)$. La condición adicional acerca de la $L^2$ norma no es necesaria.