Cómo construir un explícito isomorfismo entre dos especiales endomorfismo anillos

Question

Deje $\Lambda$ ser un artin álgebra y $M$ $\Lambda$- módulo. Deje $\Gamma:=\text{End}_\Lambda(M)$ y deje $D$ ser el estándar de la dualidad.

¿Cómo se puede dar una explícita isomorfismo $\text{End}_\Gamma(M)\cong \text{End}_{{\Gamma}^{\scriptstyle{op}}}(D(M))$?

Gracias por la ayuda!

Answer 1

Tenga en cuenta que $\text{End}_\Gamma(M)$ es precisamente el centro de la $\Gamma = \text{End}_{\Lambda}(M)$.

Deje $\varphi \in \text{End}_{\Gamma}(M)$. Considere la posibilidad de $D \varphi: DM \rightarrow DM$. Yo reclamo que $D \varphi$ $\Gamma^\text{op}$- módulo homomorphism. Tenga en cuenta que dado $\psi \in \Gamma$, la acción de la $\Gamma^{\text{op}}$ $DM$ está dado por $\psi \cdot f := f \circ \psi$ (esto tiene sentido porque ambos $f: M \rightarrow \Lambda$, e $\psi: M \rightarrow M$ $\Lambda$- lineal de mapas). Ahora comprobamos

\begin{align*} D \varphi(\psi \cdot f) &= D\varphi(f \circ \psi) = (f \circ \psi) \circ \varphi \\ &=f \circ (\psi \circ \varphi) = f \circ (\varphi \circ \psi) \\ &= (f \circ \varphi) \circ \psi = \psi \cdot (f \circ \varphi) \\ &= \psi \cdot D\varphi(f) \end{align*} para cada $f \in DM$$\psi \in \Gamma$.