Encontrar $\sum_{k=0}^{\infty}\big(\frac{1}{3k+2}-\frac{1}{3k+4}\big)$

Question

$$\text{Evaluate}\sum_{k=0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{3k+2}-\frac{1}{3k+4}\bigg)$$ Aswini Banerjee plantea esta cuestión como un reto para mí en un comentario de youtube. ¿Cómo se podría solucionar?

Answer 1

$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{\bigg(\frac{x^{3k+2}}{3k+2}-\frac{x^{3k+4}}{3k+4}\bigg)}=\int_{0}^{x}{\sum_{k=0}^{\infty}\Big(t^{3k+1}-t^{3k+3}\Big)dt}=\int_{0}^{x}{\frac{t(1-t^2)}{1-t^3}dt}$$$$=x-\int_{0}^{x}{\frac{1}{t^2+t+1}dt}=x-\frac{2}{\sqrt{3}}\bigg(\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}-\frac{\pi}{6}\bigg)\implies f(1)=1-\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$$

Answer 2

$$\sum_{k=0}^\infty\left[\frac1{3k+2}-\frac1{3k+4}\right]~=~1-\frac\pi{3\sqrt 3}$$

Podemos notar que la podemos expresar los términos de la serie un poco diferente, ya

$$\sum_{k=1}^\infty\left[\frac1{3k-1}-\frac1{3k+1}\right]=\sum_{k=1}^\infty \frac{-2}{9k^2-1}$$

La última forma puede escribirse de tal manera que podamos aplicar una suma de identidad de la función cotangente. Para ser precisos vamos a utilizar la fórmula

$$\pi\cot(\pi z)=\frac1z+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2z}{z^2-k^2} $$

Por lo tanto permite reescribir la serie determinada de la siguiente manera

$$\begin{align} \sum_{k=1}^\infty \frac{-2}{9k^2-1}&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{-2\frac19}{\frac1{9}-k^2}\\ &=-\frac13\left[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2\frac13}{\left(\frac13\right)^2-k^2}\right]\\ &=-\frac13\left(\pi\cot\left(\frac{\pi}3\right)-3\right)\\ &=1-\frac{\pi}3\cot\left(\frac{\pi}3\right) \end{align}$$

$$\therefore~\sum_{k=1}^{\infty}\frac{-2}{9k^2-1}=1-\frac{\pi}{3\sqrt 3}$$

Answer 3

$$ \begin{align} \sum_{k=0}^\infty\left(\frac1{3k+2}-\frac1{3k+4}\right) &=\frac13\sum_{k=0}^\infty\left(\frac1{k+\frac23}-\frac1{k+\frac43}\right)\tag1\\ &=\frac13\sum_{k\in\mathbb{Z}}\frac1{k+\frac23}-\frac13\frac1{-1+\frac23}\tag2\\ &=\frac13\pi\cot\left(\frac{2\pi}3\right)+1\tag3\\[6pt] &=1-\frac\pi{3\sqrt3}\tag4 \end{align} $$ Explicación:
$(1)$: tire un factor de $3$ frente
$(2)$: $k=-1$ plazo no está incluido en la suma original
$(3)$: aplicar $(7)$ a partir de esta respuesta
$(4)$: $\cot\left(\frac{2\pi}3\right)=-\frac1{\sqrt3}$