Mostrar que el cono del intervalo abierto (0, 1) no puede ser embebido en cualquier espacio Euclidiano

Question

He estado tratando de hacer frente a este problema para algunos, mientras que ahora, pero no saben cómo iniciar correctamente. Sé que el cono en $(0,1)$ está dado por $$\text{Cone}((0,1)) = (0,1) \times [0,1]/((0,1)\times\{1\}).$$ Pero, ¿cómo puedo demostrar que no puede ser embebido en un espacio Euclidiano? Causa por la que me parece que es posible.(Abierto del cilindro con el "techo" se derrumbó a un punto. Supongo que para mí el problema también radica en lo que el cociente es realmente, porque yo realmente no puede conseguir una buena sensación para él.

Yo no quiero la respuesta, sólo quiero un empujón en la dirección correcta para que yo pueda pensar acerca de cómo resolverlo.

Editar: Una nueva visión, a la hora de pensar en el cono, debería ser algo como esto (supongo), pero esto significa que puede ser incrustado en $\mathbb{R}^2$ creo, lo que contradice la pregunta.

Gracias

Answer 1

Euclidiana espacios son espacios métricos, así que para que el cono sea integrable en uno de ellos, debe ser un espacio metrizable. Tan lejos como puedo hacer, el cono de un espacio metrizable si y sólo si el espacio en sí es metrizable y compacto. Obviamente $(0, 1)$ es metrizable, pero no compacto.

He estado buscando una referencia para esta equivalencia, pero no pudo encontrar uno. El mejor apoyo para la necesidad de compacidad que encontré es el ejercicio de 23K en Willard de la topología General, que dice (entre otras cosas)

Deje $f$ ser un continuo cerrado mapa de un espacio métrico $M$ en un espacio de $Y$.

...

Los siguientes son equivalentes

• $Y$ es metrizable
• $Y$ es la primera contables
• Para cada $p \in Y$, $f^{-1}(p)$ ha compacto de la frontera

Answer 2

El cono $C(J)$ donde $J=\mathrm{int}(I)$ no es la primera contables. Consideremos el subespacio $$B:=S\times I:=\left\{\frac1n\middle|n\in\Bbb N\right\}\times I$$ of $J\times I$. It is closed, and each closed and saturated subset $$ of $B$ is either disjoint from $J\times\{1\}$, in this case it is saturated in $J\times I$, or it contains $J\times\{1\}\cap B$, but in that case its saturation is $\taza de J\times\{1\}$ which is closed. So each closed and saturated subset of $B$ is the intersection of a closed and saturated set in $J\times I$ with $B$. Therefore the restriction of the quotient map $p:J\times I\a C(J)$ to $B$ is a quotient map and $C(S)$ is a subspace of $C(J)$.

Ahora, $C(S)$ es un CW complejo con infinidad de células reunión el ápice del cono, por lo que no es la primera contables. De ahí el superspace $C(J)$ no puede ser un subespacio de un espacio métrico.