Polinomio factorización $1-3x+4x^3$

Question

Quiero factorizar (o factor ? puede que ambos verbos se utiliza ?) $1-3x+4x^3$. Me doy cuenta de que $\frac{1}{2}$ $-1$ son raíces del polinomio.

Mis preguntas son :

1) ¿cómo te aviso que $\frac{1}{2}$ es "dos veces" a raíz de este polinomio ?

2) ¿cuál es la manera más rápida para llegar a esta conclusión : $1-3x+4x^3=(1-2x)^2(1+x)$ ?

Answer 1

Sólo Diferenciar el polinomio w.r.t $x$ y, a continuación, compruebe si $0.5$ es una raíz de esto también.Si lo es, entonces es $0.5$ es "dos veces" a raíz de este polinomio. Como sabes que $-1$ es una raíz del polinomio, por lo que sólo factotise el polinomio con $(x+1)$ como uno de sus factores. a continuación, el otro factor será $(1-2x)^2$

Answer 2

Usted puede detectar múltiples raíces de $f$ al calcular el mcd de a$f$$f'$. Si ya has encontrado la raíz de $\frac12$, por supuesto, usted puede simplemente tratar de dividir a la $f$ $(x-\frac12)$ repetidamente ...:

$$f(x) = 4x^3-3x+1,\quad f'(x)=12x^2-3=3(4x^2-1)$$ $$\implies \quad f(x)=x\cdot \frac13f'(x)-2x+1$$ por lo tanto, cualquier múltiples raíz de $f$ es una raíz de $-2x+1=0$, es decir,$x=\frac12$. Como es de hecho una raíz, se dividen $f(x)$ $(2x-1)^2$ obtener $(x+1)$ restante factor.

Answer 3

Hay un útil de primaria de resultado, que dice lo siguiente.

Supongamos que $$ a = a_{n} x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_{0} $$ es un polinomio con coeficientes enteros, y $a_n \ne 0$.

Supongamos $a$ tiene una raíz racional $u/v$, $u$ $v$ coprime enteros.

A continuación,$u \mid a_{0}$$v \mid a_{n}$.

En su caso, esto nos dice que las posibles raíces racionales son $$ \pm 1, \quad \pm \frac{1}{2}, \quad \pm \frac{1}{4}. $$

Answer 4

Hay una fórmula para las ecuaciones de grado 3, pero en la práctica de Ruffini la regla se utiliza.