Puntos extremos de la bola unitaria positiva de un C $^*$ -Álgebra

Question

Dejemos que $A$ sea un C unital $^*$ -de la álgebra. Afirmamos que las proyecciones son precisamente los puntos extremos de $(A_+)_1$ . He encontrado algunas referencias para esto, pero estoy confundido sobre un paso en las pruebas.

Dejemos que $p = \frac{a+b}{2}$ con $p$ una proyección y $\|a\| = \|b\| = 1$ con $a, b$ positivo. Para reducir al caso conmutativo, sólo tenemos que demostrar que $a$ se desplaza con $p$ .

Desde $0 \le \frac{a}{2} = p - \frac{b}{2} \le p$ Conway (en su libro de teoría de operadores) concluye inmediatamente que $a$ se desplaza con $p$ . En los apuntes de álgebras de von Neumann de Jesse Peterson, primero conjuga las desigualdades anteriores por $(1-p)$ para ver que $0 \le (1-p)a(1-p) \le 0$ y luego dice que la conmutatividad de $a$ con $p$ sigue.

Me cuesta ver por qué se sigue la conmutatividad en cualquiera de estas referencias. Ciertamente $(1-p)x(1-p) = 0$ no tiene por qué implicar que $x$ se desplaza con $p$ Así que debemos aprovechar la positividad o la desigualdad $\frac{a}{2} \le p$ de alguna manera. Simplemente no lo veo. ¿Alguna idea?

Answer 1

Tienes que $a\geq0$ Así que $a=c^*c$ para algunos $c$ . Entonces, como $(1-p)a(1-p)$ obtenemos $$ 0=(1-p)c^*c(1-p)=[c(1-p)]^*c(1-p). $$ De ello se desprende que $c(1-p)=0$ y así $$a(1-p)=c^*c(1-p)=0.$$ Así, $a=pa$ . Desde $a$ es autoadjunto, $ap=(pa)^*=a^*=pa$ .

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Es importante notar que lo anterior es precisamente la prueba de que si $A\in M_n(\mathbb C)$ es positivo y $A_{kk}=0$ entonces $A_{kj}=A_{jk}=0$ para todos $j$ .