La construcción de una explícita isomorfismo entre finito extensiones de campos finitos

Question

Supongamos $K$ es un campo finito, $K = \mathbb F_{p^s}$. Si tenemos un polinomio irreducible $f$ grado $d$$K$, entonces la división de campo de $L$ $f$ $K(\alpha)$ donde $f$ es el polinomio mínimo de a $\alpha$. Pero, a continuación,$L = \mathbb F_{p^{sd}} $. Desde $\mathbb F_{p^{sd}}$ es único, vemos que esta es la división de campo de cada polinomio irreducible de grado $d$$K$.

Tome $K = \mathbb F_2$ y dejar $P(X) = X^3 + X + 1$, $Q(X) = X^3 + X^2 + 1$. Deje $L$ ser la división de campo de la $P$ $L'$ ser la división de campo de la $Q$. El de arriba nos dice que $L$ $L'$ son isomorfos. Me gustaría construir una explícita isomorfismo entre el$L$$L'$.

Sé que $L \cong \mathbb F_2[X] /(X^3 +X + 1)$$L' \cong \mathbb F_2[X] / (X^3 + X^2 + 1)$. Intuitivamente, quiero encontrar un isomorfismo $\phi : \mathbb F_2[X] \to \mathbb F_2[X]$ tal que $\phi((X^3 + X + 1)) = (X^3 + X^2 + 1)$. Un poco jugando me da $\phi(X) = X+1$. Ahora se siente como que estoy cayendo en el último obstáculo: ¿cómo puedo finalizar la construcción de un isomorfismo entre el$L$$L'$? No creo $\phi$ hace sentido como un mapa de $L$$L'$, sin embargo, parece que el mapa que yo quiero.

Answer 1

El endeudamiento de la notación de Gerry Myerson la respuesta, el campo $L = \mathbb F_2[x]/(x^3 + x + 1)$ es el conjunto de $8$ polinomios de grado $2$ o menos más de $\mathbb F_2$ con campo de adición y la multiplicación siendo el polinomio de la suma y la multiplicación modulo $x^3 + x + 1$. Equivalentemente, $L$ es el conjunto de elementos de la $ar^2 + br + c$ donde $a,b,c \in \mathbb F_2$ $r^3 + r + 1 = 0$ . También es el vector espacio de $\mathbb F_2^3$ cuyos elementos son representados como $3$-tuplas $(a,b,c)$ con respecto a la base $\{r^2, r, 1\}$. Ahora, $$r^3 + r + 1 = 0 \Rightarrow r^3(1 + r^{-2} + r^{-3}) = 0 \Rightarrow (r^{-1})^3 + (r^{-1})^2 + 1 = 0$$ de modo que $r^{-1} \in L$ es una raíz de $x^3 + x^2 + 1$. Por lo tanto, $L^{\prime} = \mathbb F_2[x]/(x^3 + x^2 + 1)$ es el espacio vectorial $\mathbb F_2^3$ donde estamos representación de elementos como $3$-tuplas $(\hat{a}, \hat{b}, \hat{c})$ con respecto a la base $\{r^{-2}, r^{-1}, 1\}$. En particular, dividiendo por $r^3 = r + 1$$r^2$$r$, respectivamente, da $$ r^3 = r + 1 \Rightarrow r = r^{-2} + r^{-1} ~~\text{y}~~ r^2 = 1 + r^{-1} $$ y así $$\begin{align*}ar^2 + br + c &= a(r^{-1} + 1) + b(r^{-2} + r^{-1}) + c\\ &= br^{-2} + (a+b)r^{-1} + (a+c)\\ &= \hat{a}r^{-2} + \hat{b}r^{-1} + \hat{c} \end{align*}$$ representan el mismo elemento.

Answer 2

Usted puede pensar de $L$ como el conjunto de todas las cosas de la forma $ar^2+br+c$ donde $a,b,c$ ${\bf F}_2$ $r$ satisface $r^3+r+1=0$. Ahora $L$ también contiene un cero de $X^3+X^2+1$, por lo que están buscando los valores de $a,b,c$ que si $s=ar^2+br+c$$s^3+s^2+1=0$. Usted puede simplemente multiplique todo, el uso de $r^3+r+1=0$ para llegar a una ecuación cuadrática en $r$, los coeficientes a cero y resolver. Esta es, probablemente, un lío. Puede haber una manera más fácil de hacerlo, pero de esta manera se consigue que un elemento de $L$ que satisface $X^3+X^2+1=0$. Una vez que usted tiene ese elemento, usted sabe que el isomorfismo usted está buscando para la toma de $r$ a ese elemento. Desde $r$ genera $L$, se obtiene la totalidad de isomorfismo.

Ahora, de hecho, creo que han sabido encontrar que (en mi notation) $r+1$ es el elemento que está buscando. De manera que su mapa de $L$ $L'$es de $r+1$ $L$ a un generador, se $t$,$L'$. Podría ser más fácil de ver es como un mapa de $L'$$L$, teniendo en $at^2+bt+c$$a(r+1)^2+b(r+1)+c$.