$Norm_{(\mathbb Q(\zeta_p)|\mathbb Q)}(1-\zeta_p)=p$

Question

Quiero mostrar que$N=Norm_{(\mathbb Q(\zeta_p)|\mathbb Q)}(1-\zeta_p)=p$. Sé que esto es un hecho elemental pero necesito una sugerencia final:

Tenemos la identidad$1 + X + \cdots + X^{p-1} = (X - \zeta)(X - \zeta^2)\cdots (X - \zeta^{p-1})$. Al reemplazar$X$ por$1$ obtenemos ese$p=(1-\zeta_p)...(1-\zeta_p^{p-1})$. Ahora, ¿cómo puedo concluir? Tenemos ese$N(p)=p^{p-1}=N(1-\zeta_p)...N(1-\zeta_p^{p-1})$. Si mostramos que$1-\zeta_p$ no puede ser una unidad, por ejemplo, hemos terminado.

Answer 1

Por (una) definición,$N(\alpha) = \prod_{\sigma \in G} \sigma(\alpha)$ donde$G$ es el grupo de Galois. Entonces$$N(1 - \zeta_p) = (1 - \zeta_p)(1 - \zeta_p^2)\cdots(1 - \zeta_p^{p-1}) = p.$ $

Answer 2

PS

Answer 3

Una primitiva $p$-ésima raíz de $\zeta$ de $1$, $p$ impar, es una raíz del polinomio irreducible $f(X)= \frac {X^p -1}{X-1}$, lo $\zeta - 1$ es una raíz de $g(X)=f(X+1)=X^{p-1} +...+p$, e $N(\zeta - 1) = p$.