Aproximación a $\sqrt{2}$ en números racionales

Question

Sea una secuencia de racional se definen recursivamente como $x_{n+1} = (\frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n})$ con $x_1$ algún número racional positivo arbitrario.

Sabemos que, en el universo de los números reales, esta secuencia converge a $\sqrt{2}$ . Pero supongamos que no sabemos nada de los números reales. ¿Cómo demostramos que ${x_n}^2$ se acerca arbitrariamente a $2$ ?

Ya he demostrado que $x_n > 2$ y que la secuencia es decreciente. Pero tengo dificultades para demostrar que ${x_n}^2$ se acerca lo más posible a $2$ como queramos usando nada más que desigualdades. Como estamos asumiendo que no hay conocimiento de los números reales, no quiero usar cosas como el teorema de convergencia monótona, la propiedad del mínimo límite superior, etc.

Este ejercicio me interesa porque puede ayudar a explicar el desarrollo de los números irracionales a un estudiante que no sabe nada de ellos.

Answer 1

Eleva al cuadrado ambos lados para obtener $$x_{n+1}^2 = \frac{x_n^2}{4} + 1 + \frac{1}{x_n^2}$$ Por lo tanto, $$x_{n+1}^2 - 2 = \frac{x_n^2}{4} - 1 + \frac{1}{x_n^2}$$ Podemos manipular esto un poco para obtener $$x_{n+1}^2 - 2 = \frac{x_n^2 - 2}{4} - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n^2}$$ $$x_{n+1}^2 - 2 = \frac{(x_n^2 - 2)^2}{4x_n^2}$$ Como el lado derecho es no negativo, también lo es el izquierdo, por lo que obtenemos $x_{n+1}^2 \geq 2$ . Aplicando esto al denominador del lado derecho se obtiene (para $n > 1$ ): $$x_{n+1}^2 - 2 \leq \frac{(x_n^2 - 2)^2}{8}$$ De esto podemos concluir que mientras $(x_n^2 - 2) < 1$ para algunos $n$ Tendremos $x_{n+1}^2 - 2 < 1/8$ y así por inducción, $x_{n+k}^2 - 2 < 1/8^k$ .

Answer 2

La cuestión planteada por Vishal es interesante, por lo que he decidido aportar mi contribución respondiendo de forma detallada a una ligera generalización de la misma. Precisamente, quiero mostrar cómo aproximar con números racionales la raíz cuadrada de cada número racional positivo $a$ demostrando que la secuencia $\langle x_n \rangle_{n\in\mathbb{N}}$ definido como $$x_{n+1}= \begin{cases} x_1 & n=0\\ \\ \dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{a}{x_n}\right) & n\geq 1 \end{cases}$$ es tal que $x_n^2\to a$ como $n \to +\infty$ para cualquier elección del número racional positivo $x_1$ es decir, para cualquier $x_1>0$ , $x_1\in\mathbb{Q}$ .

En primer lugar, elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación definitoria de $x_{n+1}$ para todos $n\geq 1$ obtenemos $$x_{n+1}^2 = \frac{x_n^2}{4} + \frac{a}{2} + \frac{a^2}{4x_n^2}$$ Restando $a$ de sus dos lados, obtenemos $$\begin{split} x_{n+1}^2 - a & = \frac{x_n^2}{4} - \frac{a}{2} + \frac{a^2}{4x_n^2}\\ & = \frac{1}{4}\left(x_n^2 - 2a + \frac{a^2}{x_n^2}\right)\\ & = \frac{1}{4}\left(x_n - \frac{a}{x_n} \right)^2 = \frac{(x_n^2 - a)^2}{4x_n^2}\geq 0 \end{split}$$ Especialización de la ecuación para $n=1, 2$ obtenemos $$x_2^2 - a = \frac{(x_1^2 - a)^2}{4x_1^2}$$ y $$\begin{split} x_3^2 - a & = \frac{(x_2^2 - a)^2}{4x_2^2} = \frac{(x_2^2 - a)}{4x_2^2}(x_2^2-a)\\ & = \frac{1}{4}\frac{(x_1^2 - a)^2}{4x_2^2x_1^2}(x_2^2-a) = \frac{1}{4}\frac{(x_1^2 - a)^2}{(x_1^2+a)^2}(x_2^2-a) \\ & \leq \frac{1}{4}(x_2^2-a) = \frac{1}{16}\frac{(x_1^2 - a)^2}{x_1^2} \end{split}$$

A partir de los cálculos anteriores, parece plausible suponer que se mantiene la siguiente estimación: $$0 \leq x_n^2 - a \leq \frac{1}{2^{2(n-1)}} \frac{(x_1^2 - a)^2}{x_1^2}\quad \forall n\geq 2$$ Esto es cierto, como se puede demostrar fácilmente por inducción generalizada. Para ello, primero observamos que para $n=2$ la estimación se mantiene como ya hemos demostrado anteriormente: entonces, suponiendo que sea cierto para $n$ obtenemos $$\begin{split} x_{n+1}^2 - a & = \frac{(x_n^2 - a)^2}{4x_n^2} = \frac{(x_n^2 - a)}{4x_n^2}(x_n^2-a)\\ & = \frac{1}{4}\frac{(x_{n-1}^2 - a)^2}{4x_n^2x_{n-1}^2}(x_n^2-a) = \frac{1}{4}\frac{(x_{n-1}^2 - a)^2}{(x_{n-1}^2+a)^2}(x_n^2-a) \\ & \leq \frac{1}{4}(x_n^2-a) \leq \frac{1}{4\cdot 2^{2(n-1)}}\frac{(x_1^2 - a)^2}{x_1^2} =\frac{1}{2^{2(n+1-1)}}\frac{(x_1^2 - a)^2}{x_1^2} \end{split}$$ Por lo tanto, las estimaciones son válidas para cada $n\geq2$ y esto, por el teorema del sándwich, implica $x_n^2\to a$ para cualquier elección del racional positivo $x_1$ .

Unas cuantas notas:

1. La prueba sólo utiliza desigualdades elementales y el resultado de cada paso está en $\mathbb{Q}$ ya que este campo es cerrado respecto a las cuatro operaciones aritméticas básicas. Si tomamos $a=2$ tenemos la respuesta directa a la pregunta de Vishal.
2. Sin embargo, a pesar de ser necesario por los objetivos didácticos de Vishal, la hipótesis $a, x_1\in\mathbb{Q}$ no es necesario por la estructura lógica del razonamiento: todo funciona perfectamente para cualquier $a,x_1\in\mathbb{R}_+$ . Esto es exactamente lo que pide Emanuel Fisher en su hermoso (aunque defectuoso por muchas erratas) "Intermediate Real Analysis" (1983, Springer Verlag, ejercicio III.8.8 página 139). Sin embargo, dado que en ese libro de texto los reales se han introducido antes como cortes de Dedekind, el desarrollo formal necesario para resolver el ejercicio es ligeramente más sencillo debido a que no es necesario elevar al cuadrado los términos de la secuencia para trabajar dentro de $\mathbb{Q}$ .
3. Una observación desde el punto de vista del "teórico de la aproximación": el error de aproximación se reduce a la mitad en cada iteración sea cual sea el valor del valor inicial $x_1>0$ es.

Answer 3

Mira $x_{n+1}^2-2$ en comparación con $x_n^2-2$ . Tenemos $$x_{n+1}=\frac {x_n}2+\frac 1{x_n}\\ x_{n+1}^2-2=\left(\frac {x_n}2+\frac 1{x_n}\right)-2\\ =\frac 14(x_n^2-2)-\frac 12-\frac 1{(x_n^2-2)+2}\\ \approx\frac 14(x_n^2-2)-\frac 12-\frac 12(1-\frac 12(x_n^2-2)+\frac 14(x_n^2-2)^2)\\ \approx \frac 18(x_n^2-2)^2$$ Y el error se hace tan pequeño como queramos.

Answer 4

La prueba habitual de convergencia mediante el método de Newton incluye también una estimación del error.

Answer 5

Dejemos que $d_n=|x_n^2-2|$ .

Entonces $$d_{n+1}=\left|\frac{x_n^2}4-1+\frac1{x_n^2}\right|=\left|\frac{x_n^4-4x_n^2+4}{4x_n^2}\right|=\left(\frac{d_n}{2x_n}\right)^2$$

Por lo tanto, basta con demostrar que $x_n>1/2$ para algunos $n$ porque entonces $d_n\to 0$ .

Pero si $0<x_1\le1/2$ entonces $$x_2=\frac{x_n^2+2}{2x_n}\ge\frac21$$