No estoy siguiendo el álgebra en una prueba. ¿Qué me estoy perdiendo aquí?

Question

Así que entiendo que la mayoría de la prueba, pero no estoy completamente siguiente ¿por qué consecuentemente $n^2=9a^2$. Es este, ya que podemos tomar nuestro valor de $n$ ( $n=3a$ ) y de la plaza, lo que nos da $9a^2$?

Estoy casi segura de que es lo que es, pero parece que fuera una relación sueltas para mí. Sólo quiero asegurarme de que estoy totalmente comprensión de la misma.

9. La Proposición Supongamos $n\in\Bbb Z$. Si $3\nmid n^2$,$3\nmid n$.

Prueba. (Contrapositivo) Suponga que no es el caso que $3\nmid n$, lo $3\mid n$. Esto significa que $n=3a$ para algunos entero $a$. En consecuencia,$n^2=9a^2$, de la cual obtenemos $n^2=3(3a^2)$. Esto demuestra que no es un número entero $b=3a^2$ que $n^2=3b$, lo que significa que $3\mid n^2$. Por lo tanto, no es el caso que $3\nmid n^2$. $\blacksquare$

Gracias!

Answer 1

Estás cuadrando los dos lados de la ecuación:$$ x = y \Rightarrow x^2 = y^2 $ $$$ n=3a \Rightarrow n^2 = 9a^2$ $ Así que sí, lo estás entendiendo correctamente.

Answer 2

Creo que usted está atado con el contrapositivo parte. Esto es que para demostrar que si $P$ $Q$ es la misma como la demostración de que si no $Q$ no $P$. En este caso particular, el original es "si $3 \nmid a^2$$3 \nmid a$". El conterpositive a esto es "si $3 \mid a$$3 \mid a^2$", y que es lo que está comprobado aquí.

Te sugiero que si usted utiliza algún tipo de prueba de la estrategia como esta, que te lo digan claramente en el principio, y si (como en este caso) lo que usted necesita para demostrar que no es directamente el original, que indique lo que usted ae va a probar. I. e., Me gustaría escribir:

Teorema: Si $3 \nmid a^2$, $3 \nmid a$

Prueba: vamos a comprobar la conterpositive: Si $3 \mid a$$3 \mid a^2$. Si $3 \mid a$, entonces podemos escribir $a = 3 u$ para algunos entero $u$. Pero, a continuación,$a^2 = (3 u)^2 = 9 u^2 = 3 \cdot (3 u^2)$, y por lo $3 \mid a^2$, como iba a ser probado. $\square$

Como se puede ver, no hay gran misterio. Y, probablemente, uno iba a escribir la prueba de manera más compacta, no esta mucho detalle.

Answer 3

$(3a)^2 = 9a^2$. Eso es todo al respecto.

Answer 4

O bien, es un caso especial de multiplicatividad de relaciones de divisibilidad.

$ \begin{eqnarray} \rm Notice\ \ \ \, &&\rm\ 3\,|\,n,\,\ 1\,|\,n &\,\Rightarrow\ &\rm 3\,|\,n^2\ \ \ \rm by \\ \\ {\rm\bf Lemma} &&\rm\ a\,|\, A,\, b\,|\,B &\,\Rightarrow\,&\rm ab\,|\,AB \end {eqnarray} $

$\rm{\bf Proof}\quad\,\ \frac{A}a,\,\frac{B}b\,\in\,\Bbb Z\ \Rightarrow\ \frac{AB}{ab} = \frac{A}a\frac{B}b \in \Bbb Z $

es decir, los enteros se cierran en los tiempos$\Rightarrow$ relaciones de divisibilidad también.