¿Está el uso de Halmos del Axioma de Sustitución equivocado en Ch. 19 Teoría del conjunto ingenuo?

Question

Estoy tratando de averiguar cómo el axioma de sustitución en el set $\omega $ de todos los números naturales se pueden utilizar para construir el conjunto de todos los sucesores de $\omega$ (como en el conjunto {$\omega,\omega^+,(\omega^+)^+... $}. En la página 74, Halmos escribe:

"Vamos a decir que una función f cuyo dominio es el conjunto de estrictas predecesores de algún número natural n (en otras palabras, dom f = n) es una $\omega$-a la función sucesor si $f(0) = \omega$ (siempre que $n \neq 0$, por lo que $0 < n$), y $f(m^+) = (f(m))^+$ siempre $m^+ < n$."

Y, a continuación, las construcciones de la sentencia $S(n,x)$ a "$n$ es un número natural y $x$ pertenece a la gama de la $\omega$-sucesor de la función con dominio de $n$".

Ahora, la primera parte de la confusión para mí cuando él dice, "y sabemos que para cada número natural $n$ nos permite formar el conjunto {$x: S(n, x)$}.

Pregunta #1: Para $n=0$, no es el conjunto sea igual a vacío o indefinido desde $x$ pertenece a $f(n)$ donde $n<0$ o, equivalentemente, $n \in \emptyset$, y por lo tanto $f$ no se puede asignar a cualquier cosa ya que no hay elementos en el dominio de $f$.

A partir de ahí el Axioma de Sustitución dado que nos permite formar una una función $F$ tal que $F(n) =$ {$x:S(n,x)$} $\forall n \in \omega$. Halmos dice que el rango de esta función es el conjunto de todos los sucesores de $\omega$ con $F(0) = \omega$ e $F(n^+)=(F(n))^+$.

Pregunta #2: volviendo a la primera pregunta, ¿cómo podría $F(0) = \omega$?

Nota: Este es mi primer post así que siéntete libre de comentar algo estoy haciendo mal. También, agradezco a nadie en avanzada que está dispuesto a tomar el tiempo para leer y responder a mis preguntas.

Answer 1

Sí, parece que esto ha sido estropeado un poco. Como está escrito literalmente, tenemos $$ F(0) = 0\\F(1) = \{\omega\}\\F(2)=\{\omega, \omega+1\},$$ etc. (La respuesta a tu primera pregunta es "el conjunto vacío".)

Aviso de que la toma de la unión de cada uno de estos con $\omega$ le da lo que quiere ($F(n) = \omega+n$). Así que una forma de corregir la exposición sería cambiar la definición de $S(n,x)$ "$n\in\omega$, y $x\in \omega$ o $x$ está en el rango de la $\omega$-sucesor de la función con dominio de $n$."

Alternativamente, y probablemente más cerca de lo que fue la intención, sería definir $S(n,x)$ "$n\in \omega$ e $x$ es un elemento de un miembro de la gama de la $\omega$-sucesor de la función con dominio de $n+1$." En otras palabras, si $f_n$ es el $\omega$ sucesor función con dominio de $n+1$ (es decir, $f_0(0)=\omega,$ e $f_1(0)=\omega,$ $f_1(1)=\omega+1,$ etc.), luego la dejamos $\{x:S(n,x)\} = \cup\operatorname{range}(f_n).$