Estoy buscando todas las soluciones (x,y,s,t) en los números enteros, para los dos ecuaciones simultáneas... $$ 7x^2 - y^2 = 3^2\\ 7y^2 - x^2 = 3t^2 $$ Tengo dos soluciones $(x,y,s,t) = (2,1,3,1)$ e $(751,422,1121,477)$.
Yo también estoy interesado en la resolución de los casos más generales... $$ Ax^2 + ^2 = Cs^2\\ Ay^2 + Bx^2 = Ct^2 $$ donde $A + B = 2C$
Hay un título que me pueden buscar bajo para obtener más información?
Gracias.
Hay un número infinito de soluciones, pero tienen grandes muy rápidamente. La solución de este sistema es una aplicación estándar de curvas elípticas.
El quadric $7x^2-y^2=3s^2$ tiene la solución simple $x=1, y=2, s=1$, lo que nos permite encontrar la solución paramétrica $x=3k^2-6k+7, y=2(3k^2-7)$.
Sustituyendo en $7y^2-x^2=3t^2$ da la cuártica \begin{equation*} t^2=81k^4+12k^3-418k^2+28k+441 \end{ecuación*} que tiene un obvio punto racional cuando $k=0$, y así es birationally equivalente a una curva elíptica.
Métodos estándar encontrar esta curva se \begin{equation*} v^2=u^3-97u^2+2352u \end{ecuación*} con \begin{equation*} k=\frac{6v-u}{3(9u-448)} \end{ecuación*}
La curva elíptica ha $7$ finito de torsión puntos en $(0,0)$, $(48,0)$, $(49,0)$, $(42,\pm 42)$ e $(56, \pm 56)$. También tiene rango $1$ con generador de $(21,126)$. Este generador de da $k=-35/37$, y por lo tanto la segunda solución citado.
Duplicar el generador da la siguiente solución \begin{equation*} x=124344271, \, y=56190422, \, s=187147999, \,t=47046243 \end{ecuación*}
Más calculo puede dar más soluciones.
Allan Macleod
El problema general \begin{equation*} Ax^2+By^2=Cs^2 \hspace{2cm} Ay^2+Bx^2=Ct^2 \end{ecuación*} con $A=Q+P, B=Q-P$ e $Q=p^2-q^2, P=2pq$ conduce a una curva elíptica con rango, al menos, $1$ cualquier $(p,q)$ con $|p| \ne |q|$ e $pq \ne 0$. Esto le da un número infinito de posibles paramétrica de soluciones.
Uno de estos es \begin{equation*} x=q(3p^8-4p^6q^2+14p^4q^4+4p^2q^6-q^8) \end{ecuación*} \begin{equation*} y=p(p^8-4p^6q^2-14p^4q^4+4p^2q^6-3q^8) \end{ecuación*}
La derivación es un estándar (si aburrido) cálculo, el uso simbólico del álgebra paquete.
La ecuación de arriba se muestra a continuación:
$Ax^2 + ^2 = Cs^2\\ Ay^2 + Bx^2 = Ct^2$
"OP" quiero paramétricos solución para la variable $(x,y,s,t)$. Allen Macleod ha proporcionado amablemente solución sólo para la variable $(x,y)$. Por extensión, la paramétrico de la solución dada por Allen Macleod para las variables de $(s,t)$ sería:
$s=(p-q)(p^8+16p^5q^3+14p^4q^4+16p^3q^5+q^8)$
$t=(p+q)(p^8-16p^5q^3+14p^4q^4-16p^3q^5+q^8)$
Para $(p,q)=(2,1)$ volvemos solución dada por "OP" como
$(A,B,C)=(7,-1,3)$
$(x,y,s,t)=(751,422,1121,477)$
Con respecto al problema general, las soluciones \begin{equation*} 2Ax^2+2By^2=(A+B)s^2 \hspace{2cm} 2Ay^2+2Bx^2=(A+B)t^2 \end{ecuación *} NO existen para ninguna combinación de $A$ y $B$ .
Por ejemplo, para $A=5, B=-1$ , no hay soluciones, ya que la cuadrícula $5x^2-y^2=2s^2$ no es localmente soluble en el primer $p=5$ .
Allan Macleod
La ecuación de arriba se muestra a continuación:
$\begin{split} Ax^2 + By^2 = Cs^2\\B x^2 + A y^2 = Ct^2\end{split}$
El de arriba simultánea ecuación paramétrica de la solución dada por el Señor Seiji Tomita y se muestra a continuación.
$x$ = $4(5625m^{14}$-1075$m^{12}$$n^2$+9509$m^{10}$$n^4$+2553$m^8n^6$-101$m^6$$n^8$-137$m^4$$n^{10}$+ 7$m^2$$n^{12}$+3$n^{14}$)$m^2$
$y$ = ($n^2$+3$m^2$)(-$n^{14}$-$m^2$$n^{12}$+27$m^4$$n^{10}$+427$m^6$$n^8$+2173$m^8$$n^6$-8291$m^{10}$$n^4$+ 16425$m^{12}$$n^2$+5625$m^{14}$)
$s$ = (-$n^2$+5$m^2$)(-$n^{14}$-$m^2$$n^{12}$+27$m^4$$n^{10}$-597$m^6$$n^8$-4995$m^8$$n^6$-7267$m^{10}$$n^4$-9175$m^{12}$$n^2$+5625$m^{14}$)
$t$ = 4($n^{14}$+5$m^2$$n^{12}$-83$m^4$$n^{10}$-271$m^6$$n^8$-269$m^8$$n^6$- 6049$m^{10}$$n^4$+6175$m^{12}$$n^2$+16875$m^{14}$)mn
Donde $(A,B,C)=[(16m^2),(n^2-9m^2),(7m^2+n^2)]$
Para $(m,n)=(2,1)$ hemos
$(x,y,s,t)=[(1570223344),(1969901167),(870604529),(2363928872)]$
$(A,B,C)=(64,-35,29)$
Seiji Tomita del artículo se puede ver en su sitio web
"Computacional teoría de los números" artículo # 306 y el enlace es el siguiente:
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