Muestra esta función$f(m,n)=f(n,m)$.

Question

deje $m,n\in \mathbb N^{+}$ , y tal que $$f(m,n)=f(m-1,n)-nf(m-1,n-1)$ $ y $f(m,0)=f(0,n)=1$ .

muestra que $f(m,n)=f(n,m)$ .

He encontrado $$f(m,1)=-mn+1$ $ $$f(m,1)=f(m-1,1)-n$ $ por lo que tenemos $$f(m,1)=-mn+f(0,1)=-mn+1$ $

Answer 1

Es solo una idea, en primer lugar, es claro que, para $m\in\mathbb{N}^{+}$ $$f(m,0)=f(m-1,0)=f(m-2,0)=\ldots=f(m-(m-1),0)=f(1,0)=1$$ por lo Tanto, $$f(m,1)=f(1,1)-f(1,0)-f(2,0)-f(3,0)-\ldots-f(m-1,0)=f(1,1)-(m-1)$$ $$=1-f(0,0)-(m-1)=2-f(0,0)-m\qquad (*)$$

Por otro lado, $$f(1,m)=f(0,m)-mf(0,m-1)=1-m$$ From where it follows that, $f(1,1)=0$. Therefore, by $(*)$ we have $0=f(1,1)=1-f(0,0)$, i.e., $f(0,0)=1$. And from $(*)$ we have, $f(m,1)=1-m$. So, in this case, we have $f(1,m)=f(m,1)$.

Otra relación, que tal vez nos ayude es que $$f(2,m+1)=f(1,m+1)-(m+1)f(1,m)=m^2-m-1$$

A partir de esto, $f(2,2)=-1$ y por otro lado $f(2,2)=f(1,2)-2f(1,1)=(1-2)-2*0=-1$. Así que esto me hace pensar que la función es simétrica.