Mostrar que $p_{n} \geq 1- \exp{(-n(n-1)/730)}$

Question

En cuanto al problema del paradoja de los cumpleaños, sea $p_{n}$ la probabilidad de que en una clase de $n$ al menos $2$ tengan sus cumpleaños en el mismo día (excluyendo el $29$ de febrero). Utilice la desigualdad $1-x \leq e^{-x}$ para mostrar que:

$p_{n} \geq 1- \exp{(-n(n-1)/730)}$ y luego determine $n \in \mathbb N$ para que $p_{n} \geq \frac{1}{2}$

Mis ideas:

Primero $p_{n}=1-\frac{\frac{365!}{(365-n)!}}{365^{n}}$ utilizando la desigualdad dada.

$1-\exp{(-\frac{\frac{365!}{(365-n)!}}{365^{n}})}\geq p_{n}$, ¿qué se supone que debo hacer a continuación? ¿Usar la Fórmula de Stirling?

Answer 1

Para $n\le 365$, $$ p_n=1-\prod_{i=1}^{n-1}\left(1-\frac{i}{365}\right)\ge 1-\prod_{i=1}^{n-1}e^{\frac{i}{365}}=1-e^{\sum_{i=1}^{n-1}\frac{i}{365}}=1-e^{-\frac{n(n-1)}{730}}. $$