cómo mostrar que$\sin(\frac{1}{n})$ es una función decreciente

Question

Estoy tratando de probar que $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sin(\frac{1}{n})$ es convergente. Sé que el límite para $\sin(\frac{1}{n})$ es $0$ , y ahora necesito demostrar que $\sin(\frac{1}{n})$ es una función decreciente. ¿Cómo puedo mostrar que $\sin(\frac{1}{n})$ está disminuyendo?

Answer 1

Uso de la identidad inversa de la prostaféresis

PS

con $$\sin(x)-\sin(y)=2\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)$ y $x=\frac1{n+1}$ revela para $y=\frac1n$

PS

¡Y hemos terminado!

Answer 2

El derivado es

PS

Siempre que $$ - (1/n^2) \cos (1/n) $ el primer factor sea siempre positivo y también lo sea el segundo, por lo que todo será negativo.

Answer 3

No necesita probar que $\sin 1/n$ está disminuyendo: $$\sin\frac1n=\frac1n+a_n$ $ donde $a_n=O(n^{-3})$ , por lo que $$\sum(-1)^n\sin\frac1n=\sum(-1)^n\frac1n+\sum(-1)^na_n.$ $ La suma anterior es convergente, por Leibniz, y la última suma es absolutamente convergente

Answer 4

Observe que $\frac 1 n \in \left (0, \frac {\pi} {2} \right ) ,\ \text {for all}\ n \in \Bbb N.$ También tenga en cuenta que $\sin x$ está aumentando estrictamente en $\left (0, \frac {\pi} {2} \right ).$ Aquí $0 < \frac {1} {n+1} < \frac 1 n < \frac {\pi} {2}$ y, por lo tanto, $\sin \left (\frac {1} {n+1} \right) < \sin \left (\frac 1 n \right),\ \text{for all}\ n \in \Bbb N.$ Esto prueba que la secuencia $\left \{\sin \left (\frac 1 n \right ) \right \}$ está disminuyendo estrictamente .

QED