¿Qué tiene de malo este método de resolver sistemas de EDO lineales con coeficientes que varían en el tiempo?

Question

El problema es que afirmó: "Lo que está mal con el siguiente cálculo para un arbitraria continua de la matriz $A(t)$?

$$\frac{d}{dt}\big[\exp \int_{t_0}^t A(s) ds\big] = A(t) \exp \big[ \int_{t_0}^t A(s) ds \big] $$

de modo que $\exp (\int_{t_0}^t A(s) ds)$ es una matriz fundamental de $\mathbf{y}' = A(t)\mathbf{y}$ por una arbitraria continua de la matriz $A(t)$."

Esto parece como una aplicación directa de la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo, por lo que no estoy seguro de cuál es la pregunta-escritor está buscando.

Answer 1

El problema básico es que $A(t)$ e $\int_{t_0}^t A(s) \; ds$ no conmutan para general $A(t)$:

$\left [A(t), \displaystyle \int_{t_0}^t A(s) \; ds \right ] \ne 0; \tag 1$

este problema se manifiesta cuando la formación de

$\dfrac{d}{dt} \left [ \exp \left ( \displaystyle \int_{t_0}^t A(s) \; ds \right ) \right ]; \tag 2$

con la matriz exponencial definida por la expansión de la serie

$\exp \left (\displaystyle \int_{t_0}^t A(s) \; ds \right ) = \displaystyle \sum_0^\infty \dfrac{1}{n!} \left ( \displaystyle \int_{t_0}^t A(s) \; ds \right )^n, \tag 3$

nos encontramos con dificultades con los términos de grado $2$ y mayores, como es ilustrado por

$\dfrac{d}{dt} \left ( \displaystyle \int_{t_0}^t A(s) \; ds \right )^2 = A(t) \left ( \displaystyle \int_{t_0}^t A(s) \; ds \right ) + \left ( \displaystyle \int_{t_0}^t A(s) \; ds \right ) A(t); \tag 4$

a la luz de (1) no podemos intercambio de los factores en el segundo plazo para llevar a$A(t)$ a la vanguardia, y el mismo problema, evidentemente, se refiere a cada poder de la integral que ocurren en la suma a la derecha de (3); y sin esta conmutación, no hay manera de validar

$\dfrac{d}{dt} \left [ \exp \left ( \displaystyle \int_{t_0}^t A(s) \; ds \right ) \right ] = A(t) \exp \left ( \displaystyle \int_{t_0}^t A(s) \; ds \right ) \tag 5$

como en el caso de las dimensiones de la variable $a(t)$, para lo cual

$\dfrac{d}{dt} e^{a(t)} = a'(t) e^{a(t)} \tag 6$

sigue fácilmente de la ordinaria de la cadena la regla de una sola variable de cálculo.

Para matrices $A(t)$ tales que

$\left [A(t), \displaystyle \int_{t_0}^t A(s) \; ds \right ] \ne 0 \tag 7$

para todos los $t$ e $t_0$, sin embargo, la fórmula (5) se aplica. Una vez que la clase de tales matrices que tiene algo de probada utilidad es

$A(t) = f(t) B, \tag 8$

donde $B$ es una constante de matriz; es fácil ver que (5) se une para tal $A(t)$.

Nota Bene: me he encontrado con esta situación tantas veces en mi propio trabajo con el tiempo-dependiente, ecuaciones diferenciales ordinarias lineales que sólo puedo decir que yo deseo (5) eran verdaderos; sin duda haría muchas cosas hella' más fácil! Final de la Nota.