Definición de un anillo de división en la teoría de categorías.

Question

Me pregunto cómo se puede definir un anillo de división en la categoría de teoría. Más precisamente, hay un bien definido el concepto de "división anillo objeto" de tal manera que un anillo de división del objeto en la categoría de conjuntos es un anillo de división en el estándar sentido ?

El hecho de que la división no está definida en todas partes parece ser un problema para mí, entonces, ¿cómo podemos definir categóricamente la división de los anillos (o campos) ? Y por "categóricamente definir", me refiero a "definir mediante categórica herramientas como universal flechas y propiedades".

Editar :

Pensé en una posible respuesta, aunque probablemente no es muy satisfactorio.

Vamos a empezar con el concepto de un anillo de objeto : es la de datos de un objeto y varias flechas satisfacer algunas condiciones. En particular, tenemos las flechas $0:1\rightarrow R$, $e:1\rightarrow R$ e $m:R\times R\rightarrow R$ correspondiente a la identidad aditiva, multiplicativa de la identidad y de la multiplicación en $R$.

Ahora bien, si suponemos que la categoría tiene la imagen de la factorización y es booleano (es una fuerte suposición, lo sé, pero podemos tratar de debilitar posteriormente), entonces tenemos un subobjeto de $R$ dado por $\text{im}\,0\rightarrow R$, y podemos tener su complemento en el entramado de subobjetos de $R$, aquí se denota por a$i:R^\times\rightarrow R$ ($i$ es monic). Luego podemos añadir el requisito (para obtener una división de anillo) que tenemos una flecha $(\ )^{-1}:R^\times\rightarrow R^\times$ tal forma que : $$ m\circ\langle i, i\circ (\ )^{-1}\rangle = e\,\circ\,! = m\circ\langle i\circ (\ )^{-1}, i\rangle $$ donde $!$ es la única flecha $R^\times\rightarrow 1$. (Un diagrama quedaría más claro, pero no sé cómo dibujar aquí.) Por supuesto, esto sólo significa que por cada no-cero $a\in R$existe $a^{-1}$ tal que $aa^{-1}=e=a^{-1}a$.

Aquí me perezosamente supone que la categoría es booleano para que yo pudiera formar el subobjeto $R^\times$ de los no-cero elementos de $R$, pero me imagino que podríamos definir que complementan por otros medios (como se muestra en Kevin Carlson de la respuesta) y aún así mantener el resto de la definición.

¿Crees que esto es una definición viable de una división anillo objeto ?

Answer 1

ADVERTENCIA: UN par de detalles a continuación sólo el trabajo de los campos, o para el derecho de la división de los anillos, pero sin cambios sustanciales son necesarios, por lo que probablemente voy a dejar la fijación de este para el lector.

La idea es aproximadamente esto. Trabajar en alguna categoría de $\mathcal C$, a la que vamos a añadir propiedades como nosotros los necesitamos a ellos. Una forma de expresar la noción de división del anillo se le dio en los comentarios por Derek: una división de anillo es un anillo de $\mathcal R$ (es decir, un anillo de objeto: un objeto de $\mathcal R$ equipado con mapas de $\times,+:\mathcal R\times \mathcal R\to \mathcal R,0,1:*\to \mathcal R$ la satisfacción de los habituales axiomas) en el que la unión de los subobjetos $0$ (un mapa de un terminal de objeto es siempre un monomorphism) y $\mathcal R^\times$ es todo de $\mathcal R$. Por lo tanto, tenemos que tener sindicatos de subobjetos disponibles en $\mathcal C$.

También tenemos que ser capaces de definir el $\mathcal R^\times$, que se supone que para satisfacer alguna frase como $\mathcal R^\times=\{x\in \mathcal R:\exists x'\in \mathcal R:xx'=1\}$. Esto no es demasiado difícil. Tenemos un subobjeto $H\subset \mathcal R\times\mathcal R$ el cual debe ser definido como $\{(x,x')\in \mathcal R\times \mathcal R:xx'=1\}$. Para definir este categóricamente, simplemente tomamos el retroceso de la multiplicación de mapa de $\times:\mathcal R\times \mathcal R\to \mathcal R$ a lo largo de la unidad de mapa $1:*\to \mathcal R$. Después de haber definido $H$, podemos construir $\mathcal R^\times$ como la imagen de la primera proyección de mapa de $H\to \mathcal R$. Así, en $\mathcal C$ necesitamos a todos los morfismos a tener una imagen que es un subobjeto.

Sin embargo, esta definición es un poco fuerte. Por ejemplo, si su categoría es el topos de poleas en un interesante espacio topológico $X$, e $\mathcal R$ es la sheaf de funciones continuas con valores en algunos topológico anillo de $R$, a continuación, $\mathcal R^\times(U)$ serán los elementos de $\mathcal R(U)$ que están en todas partes distinto de cero en $U$. Por lo que será casi imposible hacer que el $\mathcal R$ un anillo de división en el anterior sentido: usted estaría pidiendo que cada sección de la gavilla ser en todas partes o en ninguna parte de cero. Esta es la razón por la otra, las nociones de campo en la nLab artículo vinculado por Derek.

Una particularmente buena alternativa es decir que el complemento de $\mathcal R^\times$ es, precisamente, $0$. Esto suena como la misma cosa, por supuesto, pero la lógica interna a una categoría rara vez es clásica, por lo que no lo es. Más formalmente, definimos el complemento de $\left(\mathcal R^\times\right)'$ a ser el más grande de subobjeto de $\mathcal R$ cuya intersección con $\mathcal R^\times$ está vacía (inicial.) Para definir el complemento directamente de esta manera, $\mathcal C$ necesita admitir arbitraria sindicatos de subobjetos; es posible conseguir lejos con menos que esto mediante la caracterización de la complementan de manera diferente, pero en lo que necesitamos $\mathcal C$ a ser un "Heyting de la categoría". En el ejemplo de las poleas en $X$ valoradas en un topológico anillo de $R$, este es el subsheaf de funciones $f:U\to R$ tal que $f^{-1}((R^\times)')$ es denso: $f$ es casi en todas partes valorado en nonunits. Es mucho más fácil hacer $\mathcal R$ un anillo de división en virtud de esta definición! Nosotros simplemente necesitan saber que una continua $R$valores de la función, que no es una unidad en un subconjunto denso es en realidad en todas partes de cero. Para esto basta con que $R$ ser en sí mismo una división de anillo en el que $0$ es un subconjunto cerrado, como es generalmente el caso.

Puede ser vale la pena observar que en nuestro ejemplo, la unión de $\mathcal R^\times$ con su complemento es que no todos los de $\mathcal R$: no incluye a aquellos $R$valores de las funciones cuya zeroset es no vacío, pero en ningún densa. Esto no Booleano aspecto de la lógica es, de nuevo, característico de la mayoría de las categorías. Lamentablemente, esto significa que a pesar de que hay muchos "división de los anillos" en muchas categorías, no todos los teoremas elementales de álgebra lineal espera. Por ejemplo, no podemos probar que cada finitely generadas $\mathcal R$-módulo admite una base, lo que implicaría, en particular, que cada finito-dimensional vector paquete (visto como un $C^0(\mathbb{R})$-módulo) fue una suma directa de línea de paquetes.