¿Cómo resolver esta relación de recurrencia usando funciones generadoras:$a_n = 10 a_{n-1}-25 a_{n-2} + 5^n\binom{n+2}2$?

Question

¿Cómo podemos resolver la siguiente relación de recurrencia uso de GF?

$a_n = 10 a_{n-1}-25 a_{n-2} + 5^n {n+2 \choose 2}$ , para cada una de las $n>2, a_0 = 1, a_1 = 15$

Creo que la mayoría de ella es bastante sencillo. Lo que realmente me preocupa es esta parte

$5^n{n+2 \choose 2}$

Problema analizado

Después de intentar crear funciones de generación en la ecuación terminamos en este

$\sum_{n=2}^\infty a_n x^n = 10 \sum_{n=2}^\infty {a_{n-1}} \sum_{n=2}^\infty a_{n-2} x^n + \sum_{n=2}^\infty {n+2 \choose 2}5^nx^n$

Veamos esta parte:

$ \sum_{n=2}^\infty {n+2 \choose 2}5^nx^n = \sum_{n=2}^\infty \frac{(n+1)(n+2)}{2} 5^nx^n $

entonces?

Answer 1

Sugerencia para la búsqueda de la GF.

Tenga en cuenta que $(n+1)(n+2)x^n=\frac{d^2}{dx^2}\left(x^{n+2}\right)$ y por lo tanto $$\sum_{n=2}^\infty {n+2 \elegir 2}5^nx^n = \frac{1}{2\cdot 5^2}\frac{d^2}{dx^2}\left( \sum_{n=2}^\infty (5x)^{n+2} \right).$$ Luego de recordar que $\sum_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z}$.

Además, en su intento debe ser $$\sum_{n=2}^\infty a_n x^n = 10 \sum_{n=2}^\infty {a_{n-1}}x^n-25 \sum_{n=2}^\infty a_{n-2} x^n + \sum_{n=2}^\infty {n+2 \choose 2}5^nx^n.$$ que es $$\sum_{n=2}^\infty a_n x^n = 10x \sum_{n=1}^\infty {a_{n}}x^n-25x^2 \sum_{n=0}^\infty a_{n} x^n + \sum_{n=2}^\infty {n+2 \choose 2}5^nx^n.$$ Se puede tomar de aquí y encontrar a $f(x) =\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$?

Forma alternativa para la búsqueda de $a_n$ sin la GF.

Dada la recurrencia es una no lineal homogénea de la recurrencia de la relación con coeficientes constantes con ecuación característica $$z^2-10z+25=(z-5)^2=0$$ y no homogéneos plazo $5^n {n+2 \choose 2}$ que es un segundo grado del polinomio multiplicado por una potencia de $5$, que es la raíz de multiplicidad $2$ de la ecuación característica. De ahí el término general de la recurrencia con $a_0 = 1$, $a_1 = 15$ tiene la forma $$a_n= 5^n(An^4+Bn^3+Cn+D)$$ donde $A,B,C,D$ son reales constante a determinar.

Answer 2

$\sum_{n=0}^\infty {n+2 \choose 2}5^nx^n = \frac12\sum_{n=0}^\infty(n^2+3n+2)(5x)^n=\frac12[\sum_{n=0}^\infty n^2y^n+3\sum_{n=0}^\infty ny^n+2\sum_{n=0}^\infty y^n]$

donde $y=5x$ . Necesitarás las siguientes sumas de la serie:

$(1)\sum_{n=0}^\infty n^2y^n=\dfrac{y(1+y)}{(1-y)^3}\\(2)\sum_{n=0}^\infty ny^n=\dfrac y{(y-1)^2}$