Aquí está una manera rápida y fácil de la prueba - gracias en buena parte a un útil
sugerencia dada por Moishe Cohen, en un comentario en mi reciente pregunta citado
a continuación. (Repito aquí la cita incluida en esa pregunta, para
hacer esta respuesta auto-contenida, aunque por desgracia esto hace que
la prueba aparecen más de lo que es!)
Deje $[a, b]$ ser un equipo compacto intervalo en $\mathbb{R}$. Para cualquier
función continua $\gamma \colon [a, b] \to \mathbb{C}$, denotan
el compacto, conectado conjunto de puntos de $\gamma([a, b])$ por $[\gamma]$,
y definir:
\begin{align*}
i\gamma \colon [a, b] \to \mathbb{C}, \ & t \mapsto i(\gamma(t)), \\
-\gamma \colon [a, b] \to \mathbb{C}, \ & t \mapsto -(\gamma(t)), \\
-i\gamma \colon [a, b] \to \mathbb{C},\ & t \mapsto -i(\gamma(t)).
\end{align*}
Si $0 \in [\gamma]$, $0 \in i[\gamma] = [i\gamma]$, por lo que
las curvas de $\gamma, i\gamma$ se cruzan. Suponemos que a partir de ahora que
$0 \notin [\gamma]$.
Por el Teorema 7.2.1 de la A. F. Beardon, Análisis Complejo (Wiley, Chichester 1979),
existe una rama de$\operatorname{Arg}\gamma$ a $[a, b]$, es decir,
una función continua $\theta \colon [a, b] \to \mathbb{R}$ tal forma que:
$$
\gamma(t) = r(t)e^{i\theta(t)} \quad (a \leqslant t \leqslant b).
$$
Las funciones de $\theta + \frac{\pi}{2}$, $\theta + \pi$,
$\theta - \frac{\pi}{2}$ son ramas de
$\operatorname{Arg}(i\gamma)$, $\operatorname{Arg}(-\gamma)$,
$\operatorname{Arg}(-i\gamma)$, respectivamente, en $[a, b]$.
Citando el mismo libro:
7.2.1 definición
Deje $\gamma \colon [a, b] \to \mathbb{C}$ ser cualquier curva y supongamos que
que $w \notin [\gamma]$. Definimos el índice de $n(\gamma, w)$de
$\gamma$ sobre $w$por
$$
n(\gamma, w) = \frac{\theta(b) - \theta(a)}{2\pi},
$$
donde $\theta$ es cualquier rama de $\operatorname{Arg}(\gamma - w)$en
$[a, b]$. Si $\gamma$ es cerrado, a continuación, $n(\gamma, w)$ es un número entero.
El índice de $n(\gamma, w)$ es a veces llamada la liquidación número
de $\gamma$ sobre $w$, ya que representa el número de veces que
que un punto de $z$ se mueve en torno a $w$ a medida que se mueve de $\gamma(a)$a
$\gamma(b)$ a lo largo de $\gamma$. [...]
El índice puede ser utilizado para aclarar la pregunta más difícil de lo que es
entiende por 'dentro' y 'fuera' de una curva cerrada $\gamma$. Nosotros
debe decir
(a) $z$ está dentro de $\gamma$ si $z \notin [\gamma]$y
$n(\gamma, z) \ne 0$,
(b) $z$ es de $\gamma$ si $z \in [\gamma]$, y
(c) $z$ está fuera de $\gamma$ si $z \notin [\gamma]$y
$n(\gamma, z) = 0$.
[...] Observar que [...] la parte exterior de $\gamma$, decir $O(\gamma)$,
es la unión de los componentes de $\mathbb{C} \setminus [\gamma]$
en los que el índice es cero. Por lo tanto $O(\gamma)$ es un conjunto abierto.
[...] $O(\gamma)$ Contiene el complemento de algunos cerrado disco.
Si denotamos el interior de $\gamma$ por $I(\gamma)$, luego
$$
\mathbb{C} \setminus O(\gamma) = [\gamma] \cup I(\gamma),
$$
y así el conjunto de puntos que se encuentran en el interior o en $\gamma$ es un conjunto compacto.
Citando ahora a partir de D. J. H. Garling, Un Curso de Análisis Matemático, vol. III
(Cambridge 2014) - el leve choque de la notación debe causar ningún tipo de confusión -
Si $\gamma \colon [a, b] \to X$ e $\delta \colon [c, d] \to X$son
[curvas], y $\gamma(b) = \delta(c)$, la yuxtaposición
$\gamma \vee \delta$ es el [curva] de $[a, b + (d - c)]$ a $X$
definido por $(\gamma \vee \delta)(x) = \gamma(x)$ para $x \in [a, b]$
y $(\gamma \vee \delta)(x) = \delta(x + (c - b))$para
$x \in [b, b + (d - c)]$. [...]
Supongamos que $\gamma \colon [a, b] \to X$ es un [curva], y que
$w \notin [\gamma]$. [...] Si $\gamma = \alpha \vee \beta$ es el
yuxtaposición de dos [curvas]
$$
n(\gamma, w) = n(\alpha, w) + n(\beta, w).
$$
El uso de la hipótesis de que la $\gamma(b) = -\gamma(a)$, que forman la
yuxtaposiciones
\begin{gather*}
\sigma = \gamma \vee (-\gamma) \colon [a, 2b - a] \to \mathbb{C}, \\
\tau = (i\gamma) \vee (-i\gamma) \colon [a, 2b - a] \to \mathbb{C},
\end{reunir*}
y observar que, por la misma hipótesis, estas son las curvas cerradas.
Claramente $\tau = i\sigma$, es decir, $\tau(t) = i(\sigma(t))$
($a \leqslant t \leqslant 2b-a$).
Utilizando la hipótesis de $\gamma(b) = -\gamma(a)$ por tercera vez,
tenemos:
$$
n(\gamma, 0) = n(-\gamma, 0) = n(i\gamma, 0) = n(-i\gamma, 0) =
m + \tfrac{1}{2}, \text{ para algunos } m \in \mathbb{Z},
$$
y por consiguiente:
$$
n(\sigma, 0) = n(\tau, 0) = 2m + 1.
$$
Todos necesitamos retener de esto son las implicaciones
$n(\sigma, 0) \ne 0$, $n(\tau, 0) \ne 0$, es decir,
\begin{equation}
\label{3109299:eq:1}\tag{1}
0 \in I(\sigma) \cap I(\tau).
\end{equation}
Definir $r(t) = |\gamma(t)| = |i\gamma(t)|$
($a \leqslant t \leqslant b$). Ser una función continua en un
conjunto compacto, $r$ alcanza un valor máximo, $r(t_0)$. Ampliación de $r$
de forma continua para el intervalo de $[a, 2b-a]$, por escrito
$r(t) = r(t + a - b)$ ($b \leqslant t \leqslant 2b -a$), vemos que
$r(t_0)$ es también el máximo valor de $|\sigma(t)| = |\tau(t)|$
($a \leqslant t \leqslant 2b-a$).
Supongamos que $[\sigma], [\tau]$ son disjuntas. Una línea recta
segmento que une el punto de $\sigma(t_0) = \gamma(t_0)$ hasta el punto de
$2\gamma(t_0)$, y se encuentra en su totalidad en el complemento
$\mathbb{C} \setminus [\tau]$. Como la segunda
el punto radica en la componente no acotada de
$\mathbb{C} \setminus [\tau]$, así es necesario que el primero; por lo tanto, la
todo el conjunto conectado a$[\sigma]$ se encuentra en el infinito
componente de $\mathbb{C} \setminus [\tau]$. Del mismo modo, $[\tau]$se encuentra
en la componente no acotada de $\mathbb{C} \setminus [\sigma]$.
Todos necesitamos retener de esto son las consecuencias:
\begin{equation}
\label{3109299:eq:2}\tag{2}
[\sigma] \subset O(\tau) \text{ and } [\tau] \subset O(\sigma).
\end{equation}
Que \eqref{3109299:eq:1} y \eqref{3109299:eq:2} stand en
contradicción el uno al otro (para cualquier cerrado de las curvas planas
$\sigma, \tau$, y con un punto arbitrario del plano
en lugar de $0$) fue precisamente el contenido de la conjetura en mi
pregunta
el día de ayer. Ahora puedo informar con orgullo que mi malezas poco conjetura
ha crecido en un fornido grandes teorema! Por lo tanto, la suposición de que
$[\sigma], [\tau]$ son disjuntas debe ser falsa.
Para $S \subseteq \mathbb{C}$, vamos a $-S, iS, -iS$ denotar los conjuntos
$\{-s : s \in S\}$, $\{is : s \in S\}$, $\{-is : s \in S\}$,
respectivamente. Acabamos de establecer que los conjuntos
\begin{gather*}
[\sigma] = [\gamma] \cup [-\gamma] = [\gamma] \cup -[\gamma], \\
[\tau] = [i\gamma] \cup [-i\gamma] = i[\gamma] \cup -i[\gamma]
\end{reunir*}
se cruzan. Deje $z$ ser un punto en común de ambos.
Si $z \in [\gamma] \cap [i\gamma]$, que se hacen de inmediato.
Si $z \in [-\gamma] \cap [-i\gamma]$, luego
$-z \in [\gamma] \cap [i\gamma]$.
Si $z \in [\gamma] \cap [-i\gamma]$, luego
$iz \in [\gamma] \cap [i\gamma]$.
Si $z \in [-\gamma] \cap [i\gamma]$, luego
$-iz \in [\gamma] \cap [i\gamma]$.
En todos los casos, $[\gamma] \cap [i\gamma] \ne \emptyset$.
