$AB-BA$ invertible y$A^2+B^2 = AB$ luego$3$ divide$n$

Question

Deje que $A, B \in M_n(\mathbb{R})$ sea tal que: $AB-BA$ invertible y $A^2+B^2 = AB$ luego demuestre que: $3 \mid n$ .

Intenté manipular o encontrar alguna factorización para poder utilizar los valores propios de manera eficiente ... pero no encontré nada.

Gracias !

Answer 1

Esta es una adición a Sqyuli la respuesta de que (con suerte) explica algunos de los motivos detrás de la solución. Es demasiado larga para una frase en un comentario, así que voy a añadir un poco de el croquis de la respuesta aquí (en ligeramente diferente notación)

1. Set $\omega$ ser una primitiva de la tercera raíz de la unidad (tenga en cuenta que $\omega^2+\omega+1=0$).

2. Deje $A+\omega B=M$, y considerar la posibilidad de $M\overline{M}$.

3. Mostrar que $\det(M\overline{M})$ es real.

4. El uso de la segunda condición para reducir este a $\omega(BA-AB)$, y ver

$$\det(\omega(BA-AB))=\omega^n\det(BA-AB)\in\mathbb{R}.$$

5. A la conclusión de que $3|n$.

La clave de la motivación paso es notar que la factorización

$$a^2+ab+b^2=(a+\omega b)\left(a+\frac{1}{\omega} b\right),$$

que se puede notar por ejemplo señalando $\frac{a^3-b^3}{a-b}=a^2+ab+b^2$. Por desgracia, esto no es aplicable directamente, como para nosotros , ciertamente, no se puede decir que $A$ e $B$ son conmutativas (que nos permitiría factor de la segunda condición, pero invalidar la primera). Sin embargo, no indica de alguna manera que $A\pm\omega B$ podría ser útil, y $A\pm\frac{1}{\omega}B$ a través de la multiplicación de los dos. Tratamos de esto, y ver (recordar que $A$ e $B$ no conmutan) que

\begin{align*} (A+\omega B)\left(A+\frac{1}{\omega} B\right) &=A^2+B^2+\omega(BA)+\frac{1}{\omega}(AB)\\ &=AB\left(1+\frac{1}{\omega}\right)+\omega(BA)\\ &=\omega(BA)-\omega(AB)\\ &=\omega(BA-AB), \end{align*}

a partir de la cual la importancia de la primera condición se hace evidente.

Answer 2

Este problema es un viejo problema de la CMI a partir de 1997. Usted puede encontrar una solución a su pregunta en su sitio web.

La siguiente es su problema dividido en pequeñas partes, si quieres probarlo por ti mismo (lo que yo sugiero.)

1. Deje $z = -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \in \mathbb{C}$ y definen $M \in M_n(\mathbb{C})$ como $M = A+zB$
2. Mostrar que $det(M\overline{M}) \in \mathbb{R}$. [Sugerencia: $z\overline{z} \in \mathbb{R}$]
3. Escribir $M\overline{M}$ como $z \cdot (...)$ y observe $det(M\overline{M})=z^n\cdot det(...)$. También muestran que $det(...) \neq 0$
4. Combine 2. y 3. para mostrar que $3|n$.

Personalmente no sé cómo alguien se $z$ e $M$ como se definió anteriormente por resolución de este ejercicio. Tal vez alguien podría explicar esto. En otras palabras: veo que funciona con $z$ e $M$ como se define anteriormente, y también entiendo la idea de la prueba, pero la definición de $z$ e $M$ aparecer de la nada (para mí).