Punto mínimo de$x^2+y^2$ dado que$x+y=10$

Question

¿Cómo me acerco a la siguiente pregunta:

Encuentre el valor más pequeño posible de $x^2 + y^2$ dado que $x + y = 10$ .

Puedo usar mi sentido común y deducir que el valor mínimo es $5^2 + 5^2 = 50$ . Pero, ¿cómo abordas esto matemáticamente?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Tome los vectores $u=(1,1)$ y $v=(x,y)$ luego aplique la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Viene: $2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2=100$ y para $x=y=5$ se mantiene la igualdad. El valor mínimo es por lo tanto $50$ .

Answer 2

Puesto que la condición $x+y=10$ es simple y permite un fácil elemination de una variable, un enfoque posible es poner la resultante $y=10-x$ en el plazo de mimimize:

$$x^2+y^2=x^2+(10-x)^2:=f(x)$$

Ahora dispone de una función de una variable (llamada $f(x)$) donde se busca el valor mínimo sobre todos los real $x$.

Dado que este es un quadratice función, se puede minimizar con un poco de álgebra y sin cálculo:

$$f(x)=x^2+(10-x)^2=2x^2-20x+100=2(x^2-10x)+100 = 2(x^2-10x+25) + 50 = 2(x-5)^2+50 \ge 50.$$

Así que tenemos $f(x)\ge 50$ y la igualdad ocurre en $x=5$ (lo que implica, $y=5$).

Desde la etiqueta de "derivados" se utiliza, también voy a usar el habitual de cálculo de enfoque:

Tenemos $f(x) = 2x^2-20x+100$, lo que implica $f'(x)=4x-20$ e $f''(x)=4$.

Un local mimimum $x_m$ ha $f'(x_m)=0$ como necesario condición, y $4x_m-20=0$ fácilmente conduce a la única solución de $x_m=5$ e $f''(x_m)=4 > 0$ muestra que este es un local mimimum, con $f(x_m)=f(5)=50$.

También, uno necesita comprobar el comportamiento de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $+\infty$ e $-\infty$, $f'(x_m)=0$ sólo se encuentra un local extrema. Desde $f(x)$ es una ecuación cuadrática con una constante positiva antes de $x^2$, la función tiende a $+\infty$ en cualquiera de los casos, así que no hay interferencia con la miró mínimo.

Answer 3

Mostrando el problema de forma gráfica

La línea está definida por la ecuación de $f: x + y = 10$. Minimizar $x^2 + y^2$ equivale a encontrar el más pequeño círculo alrededor del origen tocar la línea. Dado que todos los radios son perpendiculares, se busca la intersección de $f$ e $y - x = 0$ que es resuelto por la $B: x = y = 5$.

Answer 4

El general, "Si todo lo que tienes es un martillo, todo parece un clavo" método que requiere muy poco de pensamiento creativo es el uso de multiplicadores de Lagrange.

(Tenga en cuenta que hay algunos que no son triviales condiciones cuando el método de multiplicadores de Lagrange puede ser utilizado; por ejemplo, las cosas se ponen un poco más complicada si $\nabla g(x,y) = 0$ es posible cuando se $g(x,y)=0$.)

Desea minimizar $f(x,y) = x^2 + y^2$ sujeto a la condición de $g(x,y)=x+y-10 = 0$. El punto de usar multiplicadores de Lagrange que se obtiene es que las condiciones simples para el punto crítico de la limitada problema con el costo de tener que añadir otro desconocido, $\lambda$, para el problema:

$$ \begin{align*} \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) &= \lambda \frac{\partial}{\partial x} g(x,y), \\ \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) &= \lambda \frac{\partial}{\partial y} g(x,y), \\ g(x,y) &= 0. \end{align*} $$

Conectar $f$ e $g$ no da $$ \begin{align*} 2x &= \lambda, \\ 2y &= \lambda, \\ x+y - 10 &= 0, \end{align*} $$ que es un sistema de ecuaciones lineales de $3$ variables, dándole $x=y=5$.

Este método puede parecer una exageración para un problema sencillo, pero una vez que se familiarice con ella, es muy sencillo y fácil de escribir las ecuaciones.

Answer 5

Usted puede acercarse a ella geométricamente. Condición de $x+y=10$ significa que la solución se encuentra en la línea de $y = -x + 10$. $x^2+y^2$ es el cuadrado de la distancia entre $(0,0)$ e $(x, y)$. Que significa que desea que el punto más cercano en la línea de $y = -x + 10$ a la de origen. Para conseguir esto, el proyecto de origen en la línea de conseguir $(5,5)$.