Visualización de residuos cuadráticos y su estructura.

Question

_{[He corregido las fotos y se eliminan una pregunta debido a usuario i707107 valiosa sugerencia relativa a los ciclos.]}

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Visualización de las funciones de $\mu_{n\%m}(k) = kn\ \%\ m$ (con $a\ \%\ b$ significado $a$ modulo $b$) como los gráficos revela muchos hechos de la aritmética modular, entre otros puntos fijos de $\mu_{n\%m}$ y el hecho de que $\mu_{n\%m}$ actúa como una permutación $\pi^n_m$ de $[m] = \{0,1,\dots,m-1\}$ fib $n$ y $m$ son coprime. Además, el ciclo de la estructura y el espectro de la $\pi^n_m$ puede ser visualizado y relacionados con el número teórico de los hechos acerca de la $n$ e $m$.

Esto es cómo el gráfico de $\mu_{3\%64}(k) = 3k\ \%\ 64$ como se ve cuando destacando permutación ciclos (el más corto es el más fuerte):

Cuando la visualización de la función de $f^2_{\%m}(k) = k^2\ \%\ m$ (lo que le da a los residuos cuadráticos de $k$ modulo $m$) de la misma manera como un gráfico, otras observaciones pueden ser hechas y trató de relacionar los hechos de la teoría de números, esp. aritmética modular:

Estos gráficos no son tan simétrica y regular de los gráficos de $\mu_{n\%m}$ , pero las observaciones pueden ser hechas sin embargo:

• la imagen de ${f^2_{\%m}}$, es decir, los $n$ con ${f^2_{\%m}}(k) = n$ para algunos $k < m$ (puntos negros)

• número y distribución de los puntos fijos con ${f^2_{\%m}}(k) = k$ (fat puntos negros)

• los ciclos de con ${f^2_{\%m}}^{(n)}(k) = k$ (líneas de color)

• líneas paralelas (no seleccionado)

Mis preguntas son:

• ¿Cómo puede la simétrica distribución de puntos de la imagen $n$ (con $f^2_{\%61}(k)=n$ para algunos $k$, puntos negros en la imagen de abajo) se explica?

• Puede haber más de un ciclo de longitud mayor que 1 para $f^2_{\%m}$?

• ¿Cómo funciona la longitud de los ciclos dependen de $m$?

• ¿Cómo funciona la "estructura paralela" dependen $m$?

Con la "estructura paralela", me refiero a la cantidad y el tamaño de los grupos de líneas paralelas. Por ejemplo, $f^2_{\%8}$ tiene dos grupos de dos líneas paralelas, $f^2_{\%12}$ tiene dos grupos de tres líneas paralelas. $f^2_{\%9}$ no tiene líneas paralelas.

Para $f^2_{\%61}$ uno encuentra al menos cuatro grupos de al menos dos líneas paralelas:

Para otros números primos $m$ uno encuentra que no hay líneas paralelas a todos, esp. para todos los números primos $m\leq 11$ (para los mayores es difícil decir).

Answer 1

Esta no es una respuesta completa a todas sus preguntas. Esto es para mostrar algunas cosas que usted debe investigar. La primera pregunta se contesta. La segunda pregunta tiene un ejemplo. No sé completar las respuestas a la tercera y cuarta pregunta, pero quiero darle una oportunidad en la explicación de su parcela de $m=61$.

Desde su última frase, parece que estás interesado, en el caso de $m$ es un primo. Deje $m=p$ ser un extraño prime. A continuación, considere la posibilidad de $p\equiv 1$ mod $4$, e $p\equiv 3$ mod $4$.

En el primer caso, $p\equiv 1$ mod $4$, vemos que el simétrico de los puntos negros. Esto es debido a que el símbolo de Legendre en $-1$ es $1$. Que es $$ \left( \frac{-1}p \right)=1. $$ Esto significa $-1$ es un cuadrado de algo en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Supongamos $x\equiv y^2$ mod $p$, luego tenemos a $-x \equiv z^2$ mod $p$ para algunos $z\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

Su ejemplo $m=61$ es un primer que es $1$ mod $4$. Así, tenemos un simétrica puntos negros.

En general, cuando el $p$ es una extraña prime, la imagen de la plaza de asignación es $$\{ x^2 \ \mathrm{mod} \ p| 0\leq x \leq \frac{p-1}2 \}.$$ Tenga en cuenta que los puntos negros representan la imagen de la plaza de asignación.

Por lo tanto, el número de puntos negros es $\frac{p+1}2$. En el ejemplo de $m=61$, tenemos $31$ puntos negros.

Ahora vamos a utilizar una raíz primitiva $g$ en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Entonces cualquier elemento $x\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} - \{0\}$, tenemos algunos entero $a$ tal que $x\equiv g^a$ mod $p$. Luego de un ciclo formado por la plaza de la cartografía que incluye a $x$ puede ser escrito como $$ \{g^{a\cdot 2^k} \ \mathrm{mod} \ p| k=0, 1, 2, \ldots \}. $$ A ver si tenemos ciclos, trate de resolver $$ a\cdot 2^k \equiv \ \mathrm{mod} \ p-1. $$

En su parcela de $m=61$, tenemos una raíz primitiva $g=10$ y los siguientes son los ciclos de longitud mayor que $1$. Todos estos deben ser considerados con el modulo $61$. $$ (g^{20} g^{40}), $$ $$ (g^g 4^8 g^{16} g^{32}), $$ $$ (g^{12} g^{24} g^{48} g^{36}), $$ $$ (g^{56} g^{52} g^{44} g^{28}) $$ No estoy seguro de si considerar estos ciclos, porque no puede haber números delante de estos, tales como $$ g^5 \mapsto g^{10} \mapsto g^{20}, $$ y entra en el ciclo de $(g^{20} g^{40})$.