Convergencia puntual de la serie$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}e^{-nx}$

Question

Para mi el curso de matemáticas que tengo que demostrar que la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}e^{-nx}$$ converges pointwise on $I=(0,\infty)$ y encontrar el límite.

Creo que debería probar que $f_n$ es una secuencia de Cauchy, que muestre que la serie converge. Así que lo que tengo hasta ahora es este:

Queremos mostrar que $\forall \varepsilon>0$ existe un $N\in\mathbb{N}$ tal que para $m,n\geqslant N$ tenemos $|{f_m-f_n}|<\varepsilon$. También tome $m>n$. El llenado de esta en da $$|f_m-f_n|=|\frac{e^{-mx}}{m}-\frac{e^{-nx}}{n}|=\frac{e^{-nx}}{n}-\frac{e^{-mx}}{m}\leqslant\frac{e^{-nx}}{N}-\frac{e^{-mx}}{N}=\frac{e^{-nx}-e^{-mx}}{N}\leqslant\frac{1}{N}<\varepsilon$$ Así que empezamos nuestra$N$$N>\frac{1}{\varepsilon}$. Y luego hemos probado la convergencia.

Sin embargo no estoy realmente seguro de si el paso donde me voy de $n$ $m$ en el denominador a $N$ es realmente cierto. También, he tratado de escribir esta secuencia para ver lo que este límite podría ser, pero estoy llegando a ninguna parte, la verdad. Por lo que cualquier consejo sobre cualquiera de probar la pointwise convergencia y encontrar el límite es muy apreciada!

Answer 1

Sugerencia: para$|x|\lt1$, $$ \ log \ left (\ frac1 {1-x} \ right) = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {x ^ k} {k} $$ To Para mostrar la convergencia, se podría intentar comparar la serie con una serie geométrica .

Answer 2

Con el fin de demostrar que la serie converge pointwise en $]0,+\infty[$, sólo fix $x$ en dicho intervalo y considerar la serie. El término general es $$ \frac1{ne^{nx}} $$ por lo tanto claramente converge; raíz prueba de que suene bien.

Ahora vamos a calcular la suma. Observar que $$ \left(-\frac{e^{-nx}}{n}\right)'=e^{-nx} $$ entonces $$ \sum_{n=1}^{+\infty}e^{-nx}=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} $$ pero ya $$ \sum_{n=1}^{+\infty}e^{-nx} =\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-\frac{e^{-nx}}{n}\right)' =-\left(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{e^{-nx}}{n}\right)' $$ tenemos que $$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{e^{-nx}}{n} =-\int\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}\,dt =-\log(1-e^{-x})+C $$ pasando al límite de $x\to+\infty$ ambas series y $\log$ desaparecen, por lo $C=0$.

El sólo hecho de comprobar en este último pasaje de el límite de $x\to+\infty$ menor a la suma; pero esto está permitido porque, para cualquier fija $M>0$, el de la serie anterior es uniformemente convergente en $[M,+\infty[$.