Ayuda a resolver una ecuación diferencial no lineal de primer orden derivada de la ecuación de navier-stokes

Question

Soy un ingeniero que estudia un estado inestable de flujo a través de una tubería. El transitorio de Bernoulli ecuación de este sistema, que tomé de aquí (http://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/fox/0471742996/webpdf/ch06.pdf) los rendimientos de esta ecuación diferencial: $$\frac{dv(t)}{dt}+av^2(t)+bP(t)=c$$ Esta es una de primer orden no lineal de ecuaciones diferenciales. Por desgracia, yo no tengo experiencia de problemas no lineales de ecuaciones diferenciales. A partir de la investigación que he hecho, este tipo de ecuación similar a la ecuación de Ricatti. Hay una forma cerrada de la solución a la ecuación anterior? ¿Cómo puedo resolver esta ecuación? Estoy interesado en obtener una función que muestra cómo la presión o la velocidad del sistema decae con el tiempo.

FYI: v(t) es la velocidad, P(t) es la presión, (a,b,c) son constantes. Gracias a todos.

Answer 1

$$\frac{dv(t)}{dt}+av^2(t)+bP(t)=c$$ Deje $v(t)=\frac{y'(t)}{ay(t)}$

$v'=\frac{y''}{ay}-\frac{y'^2}{ay^2}=-a\left(\frac{y'}{ay} \right)^2-bP(t)+c$

$\frac{y''}{ay}=-bP(t)+c$

$$y''+a(bP(t)-c)y=0$$

Ya que la forma de la función de $P(t)$ no está definido, el segundo fin de la educación a distancia es una forma general. No hay solución general puede ser proporcionada.

Así que uno se puede esperar resolver sólo si la función $P(t)$ es conocido. Lo que es más, esperando que no significa que sea seguro para resolverlo. Las soluciones son conocidas sólo en algunos casos particulares de funciones de $P(t)$.

Como consecuencia, en el caso general, los métodos numéricos se recomienda.

Nota :

si usted tiene la intención de tratar de resolver algunas ecuaciones del tipo : $$y''+F(t)y=0$$ hay algunas pautas :

$F(t)=c \: \to \: y(t)$ implica sinusoïdal o funciones hiperbólicas.

$F(t)=a+bx \: \to \: y(t)$ implica funciones de Airy.

$F(t)=a+bx+cx^2 \: \to \: y(t)$ implica funciones de cilindro parabólico.

$F(t)=a+\frac{b}{x} \: \to \: y(t)$ implica funciones de Bessel.

$F(t)=a+\frac{b}{x^2} \: \to \: y(t)$ implica funciones de Bessel.

$F(t)=ax^p \: \to \: y(t)$ implica funciones de Bessel.

$F(t)=ae^{bx}+c \: \to \: y(t)$ implica funciones de Bessel.

$F(t)=a+\frac{b}{x}+ \frac{c}{x^2} \: \to \: y(t)$ implica Kummer o Whittaker o de Coulomb funciones de onda.

Etc. Estos son solo medidas indicaciones sobre el tipo de funciones. Dependiendo de los valores particulares de los parámetros, una función que podría convertirse en una función de nivel inferior.

Answer 2

De hecho, es una ecuación de Ricatti. Para encontrar una solución explícita, primero necesita una solución particular. Esto puede ser difícil de encontrar incluso cuando se conoce una forma explícita para$P$.