¿Precio del teorema de extensión de Kolmogorov?

Question

De Wikipedia

una forma alternativa de enunciar el teorema de extensión de Kolomogorov es que, siempre que se cumplan las condiciones de consistencia anteriores, existe una medida (única) $\nu$ en $(\mathbb{R}^n)^T$ con los marginales $\nu_{t_{1} \dots t_{k}}$ para cualquier colección finita de tiempos $t_{1} \dots t_{k}$ . La característica notable del teorema de extensión de Kolmogorov es que no requiere $T$ para ser contable, pero el precio a pagar por este nivel de generalidad es que la medida $\nu$ sólo está definida en el producto σ-álgebra de $(\mathbb{R}^n)^T$ que no es muy rico.

Me preguntaba en qué sentido "la medida $\nu$ sólo está definida en el producto σ-álgebra de $(\mathbb{R}^n)^T$ "¿es un precio? $\nu$ ¿No se puede definir en otras álgebras sigma?

¿Qué significa precisamente "que no es muy rico"?

Gracias y saludos.

Answer 1

Este es un ejemplo típico: Sea $T=[0,1]$ el intervalo unitario y $\lambda$ medida de Lebesgue, y tomar la medida del lanzamiento de la moneda en $\{0,1\}^T$ . Dejemos que $f_x$ sea el $x$ -coordinación de $f\in\{0,1\}^T$ . Es posible que desee conocer la probabilidad del conjunto $$B=\big\{f:\lambda\{x\in T:f_x=1\}=1/3\big\},$$ la probabilidad de que la fracción de $1$ s es exactamente un tercio. Este evento no está en el producto $\sigma$ -Álgebra.

Esto se deduce del resultado general de que si $A\in\sigma(\mathcal{F})$ entonces existe una familia contable $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{F}$ tal que $A\in\sigma(\mathcal{C})$ . Se puede demostrar esto verificando que la familia de conjuntos generada por una subfamilia contable de $\mathcal{F}$ forma un $\sigma$ -que contiene $\mathcal{F}$ .

Aplicado a nuestro caso, un evento en el producto $\sigma$ -debe ser generada por un número contable de coordenadas. Por lo tanto, tomemos cualquier $f\in B$ y que $H_f$ sea el conjunto de funciones $g\in\{0,1\}^T$ tal que $\{x:f_x\neq g_x\}$ es contable. Entonces $H_f$ interseca todo conjunto no vacío generado por un número contable de coordenadas y, por tanto, tiene medida exterior $1$ . Claramente, $H_f\subseteq B$ Así que $B$ tiene medida $1$ también. Pero con un argumento similar, $B^C$ tiene medida exterior $1$ también. De ello se desprende que $B$ no es medible en el producto $\sigma$ -Álgebra.