Si$x,y \in\mathbb{R}$ es tal que$x^2 + y^2 - 6x + 8y + 24 = 0$ entonces cuál es el mayor valor de$$\frac{16\cos^2(\sqrt{x^2+y^2})}{5} - \frac{24\sin(\sqrt{x^2+y^2})}{5}?$ $
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user299698
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Sugerencia. Tenga en cuenta que $x^2 + y^2 - 6x + 8y + 24 = 0$ es equivalente a $$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 1$$ que es el círculo de $C$ centrada en $(3,4)$ radio $1$. Por tanto, para cualquier punto de $(x,y)$ en este círculo de su distancia al origen, que es $\sqrt{x^2+y^2}$, alcanza por la continuidad de todos los valores en el intervalo de $[\sqrt{3^2+4^2}-1,\sqrt{3^2+4^2}+1]=[4,6]$. Por lo tanto \begin{align*} M:&=\max_{(x,y)\in C} \left(\frac{16\cos^2(\sqrt{x^2+y^2})}{5}-\frac{24\sin(\sqrt{x^2+y^2})}{5}\right)\\ &=\frac{1}{5}\max_{t\in [4,6]} \left(16\cos^2(t)-24\sin(t)\right)\\ &=\frac{1}{5}\max_{t\in [4,6]} \left(16(1-\sin^2(t))-24\sin(t)\right)\\ &=\frac{8}{5}\max_{t\in [4,6]} \left((\sin(t)+2)(1-2\sin(t))\right). \end{align*} Ahora el polinomio cuadrático $(s+2)(1-2s)$ alcanza su valor máximo en el punto medio de sus raíces, que es $\frac{-2+1/2}{2}=-3/4$.
Hay un valor de $t\in [4,6]$ tal que $\sin(t)=-3/4$? ¿Qué es $M$?
P. S. no estoy seguro de que necesitas el teorema del binomio para este problema.
