Deje $f(t) = \sqrt{1-t^2}$. Desde $f$ es incluso
$$ 2 \int_{-1}^{1} f(t)\,dt = 4 \int_{0}^{1} f(t)\,dt $$
Enlazado $f$ desde abajo con fácilmente integrable funciones, como líneas rectas. Por ejemplo, en este caso, la concatenación de los segmentos de línea que conectan en orden los puntos $(0, f(0))$, $\left(\frac{1}{2}, f(\frac{1}{2})\right)$, $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}, f(\frac{1}{2} + \frac{1}{4})\right)$, $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}, f(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8})\right)$ y $(1, f(1))$ es suficiente.
![approximation by lines below]()
Deje $L(t)$ la concatenación de estas líneas. Mostrar que $3 < 4 \int_{0}^{1} L(t)\,dt$$L(t) \le f(t)$$t \in [0,1]$. Entonces concluir por la integral de la monotonía que
$$ 3 < 4 \int_{0}^{1} L(t)\,dt \le 4 \int_{0}^{1} f(t)\,dt $$
En realidad, usted puede partición del intervalo de la manera que prefieras y con la suficiente segmentos de línea que usted será capaz de concluir el mismo.