Soluciones no triviales de $\sum\limits_{-\infty}^\infty\overline{a_n}a_{n+k}=\delta_{k0}$

Question

Dejemos que $a=(a_n)$ con $a_n\in\mathbb{C}$ sea un vector indexado sobre todos los $n\in\mathbb{Z}$ y considerar el sistema de ecuaciones $\sum\limits_{-\infty}^\infty\overline{a_n}a_{n+k}=\delta_{k0}$ para todos $k\in\mathbb{Z}$ . Se puede comprobar que tiene una familia de soluciones triviales dadas por $a_n=\delta_{nm}$ para algún entero no nulo $m$ . Suponiendo que $a_0=0$ ¿hay alguna otra solución?

Este problema se inspira en los intentos (infructuosos) de encontrar una solución manejable a un pregunta anterior de la mía. Lo que quería era una curva cerrada $z(s)\in\mathbb{C}$ cuya serie de Fourier fue parametrizada en longitud de arco, es decir $z(s)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i n s}$ con $|z'(s)|^2=\sum\limits_{nm}(n\overline{c_n})(m c_m)e^{i (m-n)s}=1$ para todos $s\in\mathbb{R}$ . Esto requiere $\sum\limits_{-\infty}^\infty nm\overline{c_n}c_{m}=\delta_{nm}$ para todos $m$ que al identificar $m=n+k$ y $a_n=n c_n$ se obtiene el sistema de ecuaciones anterior.

Desgraciadamente, las únicas soluciones que me resultan obvias son las triviales dadas anteriormente (es decir, un único modo $e^{i m s}$ ). Cualquier solución no trivial parece implicar todas las frecuencias; una construcción de este tipo aclararía mucho mis preguntas.

Answer 1

Dejemos que $f(z)$ sea holomorfa en una vecindad del círculo unitario tal que $|f(z)|=1$ siempre que $|z|=1$ . Hay muchas funciones de este tipo. Algunos ejemplos son $z^k$ para $k\in \mathbb{Z}$ y las funciones de Möbius $$\frac{z-a}{1-\overline{a}\,z}$$ para $|a|\neq 1$ . Luego se pueden tomar productos de dichas funciones o composiciones, etc. La observación clave es la siguiente. Sea la expansión de Laurent de $f$ en el círculo unitario sea $$f(z)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_nz^n.$$ Dejemos que $f^{\ast}$ sea la función holomorfa definida por $f^{\ast}(z)=\overline{f(1/\overline{z})}$ entonces $$f(z)f^{\ast}(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\left(\sum_{k\in\mathbb{Z}}a_{k+n}\overline{a}_k\right) z^n.$$ Si $|z|=1$ entonces $f(z)f^{\ast}(z)=|f(z)|^2=1$ y por lo tanto (ya que es holomorfo) $f(z)f^{\ast}(z)$ es constante en una vecindad del círculo unitario. En otras palabras, todos sus coeficientes de Laurent, excepto el término constante, son iguales a cero. Así que los coeficientes de Laurent de $f$ tiene la propiedad requerida.

Para $f(z)=z^k$ esto da los ejemplos triviales. Para $0<|a|<1$ la función Möbius $$f(z)=\frac{z-a}{1-\overline{a}\,z}=-a +(1-|a|^2)\sum_{n=0}^{\infty}\overline{a}^n z^{n+1}$$ da ejemplos no triviales.

Editar: He pasado por alto el requisito $a_0=0$ pero esto se puede arreglar: Como el ejemplo de Möbius anterior es una función holomorfa en el disco unitario todos sus coeficientes de índice negativo son $0$ por lo que se puede considerar en su lugar $z^kf(z)$ para algunos $k\geq 1$ para conseguir $a_0=0$ .

Answer 2

Como $\sum_{k\in\mathbb Z}\lvert a_k\rvert^2<\infty$ , entonces esto corresponde a un $2\pi-$ periódico $L^2-$ función $f$ con $$ f(x)=\sum_{k\in\mathbb Z}a_k\,\mathrm{e}^{ikx}, $$ y $\int_0^{2\pi}\lvert\,f(x)\rvert^2\,dx=2\pi\sum_{k\in\mathbb Z}\lvert a_k\rvert^2$ .

Ahora la relación $$ \sum_{n\in\mathbb Z}\overline{a}_na_{n+k}=\delta_{k0}, \qquad (\star) $$ significa que $\widehat{\lvert\,f^2\rvert}_k=\delta_{k0}$ o $$ \int_0^{2\pi} \lvert \,f(x)\rvert^2\,\mathrm{e}^{ikx}\,dx=2\pi\,\delta_{k0}, $$ lo que significa que $\lvert\, f(x)\rvert=1$ casi en todas partes. Así que la forma general del vector infinito $\{a_k\}_{k\in\mathbb Z}$ , satsfying $(\star)$ tiene que ser de la forma $$ a_k = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\,\mathrm{e}^{ikx}\,dx, $$ donde $f :[0,2\pi]\to\mathbb C$ , medible, con $\lvert\,f(x)\rvert=1$ .

En particular, si $f$ es de valor real, entonces tiene que ser de la forma $$ f(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \text{if} & x\in E, \\ -1 & \text{if} & x\in [0,2\pi]\smallsetminus E, \end{array} \right. $$ donde $E$ es un subconjunto medible de $[0,2\pi]$ .

Por lo tanto, el general $\{a_k\}_{k\in\mathbb Z}$ es de la forma $$ a_k=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\,\mathrm{e}^{ikx}\,dx=\frac{1}{2\pi}\left(\int_{E}\mathrm{e}^{ikx}\,dx-\int_{[0,2\pi]\smallsetminus E}\mathrm{e}^{ikx}\right). $$

Por ejemplo, si $E=[0,\pi]$ entonces $$ a_k=\frac{1}{2\pi}\left(\int_{0}^\pi\mathrm{e}^{ikx}\,dx-\int_{\pi}^{2\pi}\mathrm{e}^{ikx}\right)=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{e^{k\pi i}}{ik}-\frac{1}{ik}-\frac{e^{2k\pi i}}{ik}+\frac{e^{k\pi i}}{ik}\right) \\ =\left\{ \begin{array}{lll} 0 & \text{if} & k\,\, \text{even},\\ \dfrac{2i}{k\pi} & \text{if} & k\,\, \text{odd}. \end{array}\right. $$