Derivada parcial de arctan

Question

Dado que $$f(x,y)=\tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$$ Encuentre $f_x(x,y)$

Mi intento,

$$\begin{aligned} f_x(x,y)&=\frac{(1-xy)(1)-(x+y)(-y)}{(1-xy)^2}\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)^2}\\ &=\frac{1+y^2}{(1-xy)^2+(x+y)^2}\\ &=\frac{1+y^2}{1+y^2+x^2+x^2y^2} \end{aligned}$$

Pero la respuesta dada es $\frac{1}{x^2+1}$ .

¿Cómo?

Answer 1

Una pista:

$$1+x^2+y^2+x^2y^2=(1+x^2)+y^2(1+x^2)=?$$

Como alternativa, véase Duda de identidad de la función trigonométrica inversa: $\tan^{-1}x+\tan^{-1}y =-\pi+\tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ cuando $x<0$ , $y<0$ y $xy>1$

Answer 2

Porque $$\frac{1+y^2}{1+y^2+x^2+x^2y^2}$$

y

$$\frac{1}{x^2+1}$$

son la misma cosa.

Answer 3

Alternativamente, denota: $x=\tan a; y=\tan b$ . Entonces: $$z=\arctan \frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}=a+b.$$ Así que: $$z_x=a_x=(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}.$$