Transformaciones de álgebra lineal, núcleo, rango y confusión

Question

Tengo un espacio vectorial $V$ de polinomios en la variable $x \in \mathbb R$ . La transformación $f$ se define como sigue:

$ f : V V : p(x) x^2 \left(\frac{d^2 p(x)}{dx^2}\right)$

es decir: derivar dos veces en x y multiplicar por $x^2$ .

Y ahora la pregunta:

Describa exactamente todos los elementos del núcleo de f en el rango de f. ¿Cuáles son las dimensiones de V, el núcleo de f y el rango de f?

Aquí es donde estoy completamente atascado; ¿cómo es esto incluso una transformación lineal si implica cuadrados y cómo encuentro este núcleo y la matriz A que corresponde con f? Necesito esta matriz porque necesito encontrar los valores y vectores propios, aunque la tarea indica que se trata de un ejercicio teórico y que las matrices son innecesarias.

Answer 1

$V$ es el espacio vectorial de los polinomios. Piensa en $V$ como secuencias reales infinitas tales que todos los elementos, excepto los finitos, son $0$ . (La identificación es: la lista de coeficientes $a_0, a_1, \ldots$ del polinomio). Entonces la multiplicación por $x^2$ es sólo una transformación que mapea una secuencia $s$ a otro que se obtiene de $s$ escribiendo dos ceros al principio de la secuencia. (Más exactamente, desplaza la secuencia en 2 hacia la derecha y escribe $0$ en el término $a_0$ y $a_1$ .) Se trata claramente de una operación lineal. Lo mismo ocurre con la derivación: simplemente multiplica cada $a_i$ por $i$ y luego borra el primer término (cuyo índice es cero.)

Answer 2

Permítanme denotar el operador por $T$ y la segunda derivada por $D^2$ .

Nótese que la derivada es un operador lineal, por lo que para $p,q \in V$ y $a, b \in \mathbb R$ , usted tiene $$ T(a p(x)+ b q(x)) = x^2 D^2 (ap(x)+bq(x)) = a x^2 D^2 p(x) + b x^2 D^2 q(x) = a Tp(x) + bTq(x),$$ y $T$ es un operador lineal.

Para encontrar el núcleo, debe determinar para qué $p\in V$ tienes $$ Tp(x) = x^2 D^2 p(x) = 0 \quad \iff \quad D^2p(x) = 0. $$ Nótese que esto se puede resolver simplemente integrando dos veces.

Para encontrar el rango, debe comprobar para qué $q \in V$ Hay un $p \in V$ tal que $$ Tp(x) = q(x) \quad \iff \quad x^2 D^2p(x) = q(x). $$ Tenga en cuenta que $q$ es un polinomio y que la solución $p$ a esta ecuación debe ser un polinomio.

Answer 3

Tenga en cuenta que ambos $p\mapsto dp/dx$ y $p\mapsto x\cdot p$ son $\Bbb R$ -mapas lineales, y $f$ es una composición de estos mapas.

Para el núcleo, tenemos $f(p)=0$ si $d^2p/dx^2=0$ es decir, si $p$ es como máximo lineal.

Para la gama, tenemos $q=f(p)$ si $q$ es divisible por $x^2$ es decir, tiene un término constante nulo y un coeficiente nulo para $x$ .

Para los vectores propios, escriba $p=a_0+a_1x+\dots +a_nx^n$ .

Answer 4

Una forma de ver los vectores en este espacio es convertir cada polinomio en un vector columna lleno de sus coeficientes, por lo que el primer componente es la constante del polinomio, el segundo componente es el coeficiente del $x$ el tercer componente es el coeficiente del $x^2$ término, etc. Así que multiplicando por $x^2$ básicamente sólo desplaza cada coeficiente dos componentes hacia abajo y rellena los dos primeros componentes con 0's, lo cual es una transformación lineal $T(v)$ porque $T(av+bw)=a(T(v)+b(T(w))$ para las constantes $a,b$ y vectores $v,w$ .

El núcleo no es más que todos los polinomios que mapean al $0$ vector después de la transformación. La "multiplicación por $x^2$ " nunca producirá un $0$ vector a menos que $p(x)$ es el $0$ vector, por lo que la segunda derivada de $p(x)$ tiene que ser 0. Por lo tanto, el núcleo de la transformación dada es el conjunto de todos los polinomios de grado 1, por lo que los polinomios de la forma $a+bx$ para las constantes $a,b$ .

Ahora, el rango de la transformación es cada polinomio que se puede obtener a través de la transformación. El vector cero está incluido, ya que el núcleo no es vacío. Los otros polinomios posibles son cualquier polinomio de grado al menos 2 porque multiplicamos por $x^2$ después de la derivada.