Subespacios compactos de Poset

Question

En la página 172 del libro de texto Topología(2ed) de James Munkres, hay un teorema sobre los subespacios compactos de la recta real:

Sea $X$ sea un conjunto simplemente ordenado que tenga la propiedad de mínimo superior. En la topología de orden, cada intervalo cerrado en $X$ es compacto.

Mi pregunta es si existe un teorema generalizado sobre un Poset(o un enrejado, enrejado completo, tal vez). ¿Hay alguna manera elegante de definir una topología en Poset?

Answer 1

Se han definido muchas topologías sobre órdenes parciales y entramados de varios tipos. Una de las más importantes es la Topología Scott . Sea $\langle P,\preceq\rangle$ sea un orden parcial. Un conjunto $A\subseteq P$ es un conjunto superior si ${\uparrow\!\!x}\subseteq A$ siempre que $x\in A$ donde ${\uparrow\!\!x}=\{y\in P:x\preceq y\}$ . Un conjunto $U\subseteq P$ es abierta en la topología de Scott si $U$ es un conjunto superior con la siguiente propiedad:

si $D\subseteq P$ es un conjunto dirigido en $P$ y $\bigvee D\in U$ entonces $D\cap U\ne\varnothing$ . (En este caso $U$ se dice inaccesibles mediante uniones dirigidas .)

En topología superior es la topología que tiene $\{P\,\setminus\!\downarrow\!\!x:x\in P\}$ como subbase. En topología inferior es generado por la subbase $\{P\setminus{\uparrow\!\!x}:x\in P\}$ .

En Topología Lawson es la unión (refinamiento común más grueso) de las topologías Scott e inferior.

También se han definido varias topologías de intervalo, las primeras por Frink y por Birkhoff; este documento aborda una serie de topologías de este tipo.

Estos términos deberían darte al menos un punto de partida para seguir buscando si te interesa.

Answer 2

Se podría utilizar la siguiente topología: un conjunto $V$ es cerrado si y sólo si para todo $x\in V$ y $y\geq x$ , $y\in V$ . (Comprueba por ti mismo que esto da una topología bien definida).

Esto es muy diferente de la topología de orden, sin embargo, y lo que sigue no se generaliza a la topología de orden cuando su poset es un conjunto ordenado.

A menos que tu relación de orden sea trivial, en cuyo caso nuestra topología será discreta (¡compruébalo!), la topología no será Hausdorff, así que lo máximo que puedes pedir es cuasicompacidad (toda cubierta abierta tiene una subcubierta finita).

Entonces un intervalo "semiabierto $\{x: x\leq b\}$ será cuasicompacto ya que cualquier conjunto abierto que contenga a $b$ contiene todo el conjunto. El intervalo "cerrado $\{x: a\leq x$ , $x\leq b\}$ (que generalmente no es cerrado en esta topología) será cuasicompacto, ya que es relativamente cerrado en el intervalo semiabierto. Notarás que no era necesario ningún axioma de completitud para este argumento.