Sobre la definición de una secuencia exacta en una categoría abeliana.

Question

Estoy un poco confundido acerca de la noción de exactitud en general abelian de la categoría (I desea mantenerse alejado de cualquier cosa relacionada con el Mitchell incrustación teorema). Aquí hay dos definiciones que he visto:

Una secuencia $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$ es exacta en $B$ si

1. $\operatorname{Im} f = \operatorname{Ker} g$, en el sentido de que son isomorfos como subobjetos;

   o

2. $gf = 0$ y la canónica de morfismos $\operatorname{Im} f \rightarrow \operatorname{Ker} g$ es un isomorfismo.

Podría alguien por favor, arrojar algo de luz sobre la equivalencia entre estas dos nociones? A priori, parece más general y más fuerte que el otro.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

$\operatorname{im}f$ es el núcleo de la cokernel, por lo tanto es, naturalmente, equipado con un morfismos $\to B$ y este es un monomorphism (como es el caso de los núcleos).

Si asumimos (1), luego por el isomorfismo de subobjetos, $\operatorname{im}f$ factores $\ker g$ (y viceversa), por lo tanto $\operatorname{im}f\to C$ es el cero de morfismos y, finalmente,$g\circ f=0$. Para decirlo de otra manera, dado el isomorfismo $\operatorname{im}f\to\ker g$ es la canónica de morfismos obtenidos a partir del hecho de que la $\operatorname{im}f\to C$ es cero y por lo que este es un isomorfismo.

Si asumimos (2), entonces la canónica $\operatorname{im}f\to\ker g$ obtenido a partir de $g\circ f=0$, por definición, es una factorización de $\operatorname{im} g\to B$ $\ker g\to B$ y similares para su inverso, de modo que contamos $(1)$