Encuentra la integral$\int \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx$

Question

La integral se puede representar como $$ \ int \ frac {1 + x} {\ sqrt {1-x ^ 2}} \ mathrm dx = \ int \ left (\ frac {1 + x} {1-x} \ derecha) ^ {1/2} \ mathrm dx $$

Sustitución$$t=\frac{1+x}{1-x}\Rightarrow x=\frac{t-1}{t+1}\Rightarrow dx=\frac{2}{(t+1)^2}dt\Rightarrow \int\limits \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{1/2}\mathrm dx=2\int\limits \frac{\sqrt{t}}{(t+1)^2}\mathrm dt$ $

¿Qué sustitución utilizar para resolver la integral$\int\limits \frac{\sqrt{t}}{(t+1)^2}\mathrm dt$?

Answer 1

No se permiten sustituciones: $$ \int\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac {x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\,dx =\arcsin x-\sqrt{1-x^2}+c $$

También puede hacerlo de esta manera, continuar con $u=\sqrt{t}$, lo $t=u^2$$dt=2u\,du$; así se obtiene $$ \int\frac{4u^2}{(u^2+1)^2}\,du= \int 2u\cdot\frac{2u}{(u^2+1)^2}\,du $$ Darse cuenta de que $2u$ es el derivado de la $u^2+1$ puede utilizar la integración por partes $$ =2u\cdot\left(-\frac{1}{u^2+1}\right)- \int2\left(-\frac{1}{u^2+1}\right)\,du =2\arctan u-\frac{2u}{u^2+1} $$ Hacer la parte de atrás de sustituciones.

Método alternativo: set $x=\cos4t$, por lo que tiene $$ \sqrt{\frac{1+\cos4t}{1-\cos4t}}=\frac{\cos2t}{\sin2t} $$ y la integral se convierte en $$ -8\int\cos^22t\,dt=-4\int(1+\cos t)\,dt $$

Answer 2

También podemos usar la sustitución$u=\sqrt{1-x}$, luego$\mathrm{d}u=-\frac{\mathrm{d}x}{2\sqrt{1-x}}$ y$\sqrt{1+x}=\sqrt{2-u^2}$. También usaremos$u=\sqrt2\sin(\theta)$ $$ \begin{align} \int\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}\,\mathrm{d}x &=-2\int\sqrt{2-u^2}\,\mathrm{d}u\\ &=-2\int\sqrt2\cos(\theta)\cdot\sqrt2\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta\\ &=-2\int(1+\cos(2\theta))\,\mathrm{d}\theta\\[3pt] &=-2\theta-\sin(2\theta)+C\\[3pt] &=-2\arcsin\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\right)-\sqrt{1-x^2}+C\\ &=-\arccos(x)-\sqrt{1-x^2}+C\\[6pt] &=\arcsin(x)-\sqrt{1-x^2}+\left(C-\tfrac\pi2\right) \end {align} $$

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Explicación de $\boldsymbol{2\arcsin\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\right)=\arccos(x)}$

Deje$\alpha=\arcsin\left(\sqrt{\frac{1-x}2}\right)$, luego$x=1-2\sin^2(\alpha)=\cos(2\alpha)$. Por lo tanto,$\alpha=\frac12\arccos(x)$. Por lo tanto, $$ 2 \ arcsin \ left (\ sqrt {\ frac {1-x} 2} \ right) = \ arccos (x) $$