Demostrar eso si $n(a^2+b^2+c^2)=abc$ y $2\mid n$

Question

Es cierto que si $n\in\mathbb N$ y la ecuación de diophantine $$n(a^2+b^2+c^2)=abc,\\(a,b)=(b,c)=(c,a)=1\tag1$$ ha entero positivo soluciones de $a,b,c$,$2\mid n$?

Puedo demostrar que $3\mid n:$

1) Si $3\not\mid abc$ $3\mid a^2+b^2+c^2,$ una contradicción. 2) Si $3\mid abc,$ desde $(a,b)=(b,c)=(c,a)=1$, podemos asumir que $3\mid a$ $3\not \mid bc,$ $3\not\mid a^2+b^2+c^2,$ por lo tanto $3\mid n.$

Puedo demostrar que la ecuación de $(1)$ tiene una infinidad de soluciones al$n=6,$, de hecho, vamos a $c=17,$ a continuación, se ha convertido en una Pell de la ecuación: $(12a-17b)^2-145b^2=-41616.$

Yo encontrar algunas soluciones a la ecuación de $(1)$: $\{a,b,c,n\}=\{39,20,17,6\}\{52,29,15,6\}\{68,61,45,18\}\{87,80,61,24\}$

Sin embargo, no puedo demostrar que $2\mid n.$ Gracias de antemano!

Answer 1

Es cierto. Necesitamos la siguiente hecho bien conocido:

Si $p\equiv3\pmod4$ es el primer y $p\mid x^2+y^2$, $p\mid x$ y $p\mid y$.

Vamos a probar que

Teorema. Si $a,b,c$ es una solución a $(1)$, exactamente uno de $a,b,c$ es divisible por $4$.

Prueba.

Primero supongamos $a,b,c$ son de todos los impares. A continuación,$a^2+b^2+c^2\equiv3\pmod 4$, por lo que tiene un divisor primo $p\equiv3\pmod 4$. Sin pérdida de generalidad, supongamos $p\mid a$.

A continuación,$p\mid b^2+c^2$, lo $p\mid b$$p\mid c$, lo que contradice la condición de $(a,b)=(b,c)=(c,a)=1$.

Por lo tanto, uno de los $a,b,c$ es incluso. Decir $2\mid a$ y supongamos $4\nmid a$. A continuación,$a^2+b^2+c^2\equiv6\pmod8$, lo que significa que tiene un divisor primo $p\equiv3\pmod 4$. De nuevo $p\mid b$$p\mid c$, contradicción.

Así que debemos tener $4\mid a$. $\square$

En este caso, $a^2+b^2+c^2\equiv2\pmod 4$, lo que significa que $4\nmid a^2+b^2+c^2$. Por lo tanto, $2\mid n$.